[复习必备]（广东专版）2020高考数学二轮复习 第二部分 专题五

专题五 解析几何

满分示范课

【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1

2→→

上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2 NM.

(1)求点P的轨迹方程；

→→

(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

[规范解答] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)， →→

则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，1分 →→

2

由NP＝2 NM得x0＝x，y0＝y，3分

2因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，

22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2.5分

(2)由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)， →→

则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)， →→

→

OQ·PF＝3＋3m－tn，7分

→

OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， →→

22

由OP·PQ＝1，得－3m－m＋tn－n＝1，9分 又由(1)知m＋n＝2，故3＋3m－tn＝0. →→→→

所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，11分

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分

高考状元满分心得

1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得

2

2

2

2

x2

2

x2y2

1

分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m＋tn－n＝1就得分．

2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝

2

y，没有则不得分；第(2)问一定要2

2

2

→→→→

写出OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．

→→

[解题程序] 第一步：设出点的坐标，表示向量NP，NM； →→

第二步：由NP＝2 NM，确定点P，N坐标等量关系； 第三步：求点P的轨迹方程x＋y＝2； 第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系； →→

第五步：由OQ·PF＝0，证明OQ⊥PF；

第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．

2

2

x2y2

[跟踪训练](2018·江南名校联考)设椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为A(－

abπ3

1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且∠ACB＝，S△ABC＝.

33

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否→→

存在定点D，使得DE·DF为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)在△ABC中，由余弦定理得AB＝CA＋CB－2CA·CB·cos ∠ACB＝(CA＋CB)－3CA·CB＝4.

133

又S△ABC＝CA·CB·sin C＝CA·CB＝，

2434

所以CA·CB＝，代入上式得CA＋CB＝22.

3所以椭圆长轴2a＝22，焦距2c＝AB＝2. 所以椭圆M的标准方程为＋y＝1.

2

(2)设直线方程y＝k(x－1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，

2

2

2

2

x2

2

x??＋y2＝1，联立?2

??y＝k（x－1），

2

2

得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2

＋8＞0， 2

2

所以x4k2k－2

1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2.

→→

假设x轴上存在定点D(x0，0)使得DE·DF为定值． →→

所以DE·DF＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2) ＝x2

1x2－x0(x1＋x2)＋x0＋y1y2

＝x2

1x2－x0(x1＋x2)＋x0＋k2

(x1－1)(x2－1) ＝(1＋k2

)x2

2

2

1x2－(x0＋k)·(x1＋x2)＋x0＋k 2

2

2

＝（2x0－4x0＋1）k＋（x0－2）1＋2k2

→→→→

要使DE·DF为定值，则DE·DF的值与k无关， 所以2x22

50－4x0＋1＝2(x0－2)，解得x0＝4，

→→

此时DE·DF＝－7?5?16为定值，定点为??4，0??.

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