11-12第一学期高数(1)练习(2)

xf(t)dt ?019. 求f ?(x)连续,f(0)?0,f?(0)?0xlimx?02x?f(t)dt

0 22?(x2)4xf2xf(x)2f(x)解： ?limI?limx?limxx?03f(x)?xf?(x)x?0x?02 2xf(t)dt?xf(x)2f(t)dt?xf(x) 00

4f?(0)4f?(x2)??1 ?limx?03f?(0)?f?(0)f(x)?f(0) 3?f?(x)x?0

2??20. 设f(X)可导，且f(0)?0.F(x)??x0tn?1f(xn?tn)dt．求 limF(x)

x?0x2n解：令u?xn?tn,?du?dtn，则

F(x)??tn?1f(xn?tn)dt

0x1x ??f(xn?tn)dtn

n01xn ??f(u)du

n0F(x)xn?1f(xn)f(xn)?f(0)lim2n?lim?lim x?0xx?02n?x2n?1x?02n?x21f(xn)?f(0)f'(0)?lim? 2nx?0xn2n

21. 当x?0时,试证x?ln(1?x)成立.x解：

则f?(x)?.设f(x)?x?ln(1?x), 1?x ?f(x)在[0,??)上连续,且(0,??)可导，f?(x)

?在[0,??)上单调增加；?f(0)?0, ?当x?0时，x?ln(1?x)?0,即x?ln(1?x).

22. 求函数f(x)?(x?5)x的单调区间和极值.

23?0, 6

解：(1)函数的定义域为(??,??)

(2)f'(x)?5x?105x?10,令f'(x)?＝0得到x?2 333x3x且x＝0为不可导点. (3)x?(??,0),f'(x)?0 x?(0,2)f,x'?()

x?(2,??),f'(x)?0

所以函数的单增区间为(??,0)和(2,??)，单减区间为(0,2) 极大值为f(0)?0，极小值为f(2)??334

23. 求两抛物线y?2x?x2与y?2x2?4x所围成的平面图形的面积.

2??y?2x?x解：(1) 二抛物线的交点为方程组?的解，即(0,0),(2,0) 2??y?2x?4x (2) 画出草图

xy y=2x-x2A1OA22 (3)A1??20(2x?x2)dx,

20x y A2???(2x2?4x)dx

所以所求面积A?A1?A2

y=2x-4x2??(2x?x2?2x2?4)dx02

＝3?20(2x?x2)dx

x32＝3[(x?)]0?4

32

7

填空题

1. 函数y?4?x2的值---------------------------。（(0,1]）

2. ----------------无穷小。 （四阶） 当x?0时,4xtan3x为x的 3. 当x??时，与sin4. -limxsin11为等价无穷小的是-----------。（）

xx1? . （1）

x??x1x25. lim(1?2)?-----------------。（e?1）

x???x cosxlim?6. x???（1）

?x2 27. 设y?f(x2)可导，则dy＝。。。。。。。。。。。。。。。。。 （2xf'(x2)dx） 8. 设y?f(sinx)可导，则dy＝--------------------。（cosxf'(sinx)dx） 9. .函数y?x3(1?x)的单调递减区间是 .（

3

,??） 4

10. 曲线y?ex在(0,1)处的切线方程为 . （y?x?1）

?tanx?11.设f(x)??x??ax?0x?0，若f(x)在x?0点连续，则a?(1)

?x?x12. 设e是f(x)的一个原函数,则xf(x)dx?--------------。（e(1?x)?C）

?

13. 由定积分的几何意义,

?2?24?x2dx＝ .（2π）

2??x?1?t14. 曲线?在t＝2处的切线方程为 .（3x?y?7?0） 3y?t??215. .直线y?x与抛物线y?x所围成的图形的面积是 .（

1） 616. 设y?e，则y?x(n)＝---------。（?ne?x）

17. 17. 若?f(x)dx?x2e2x?C则f(x)? （2x(1?x)ex） 18. 已知F'(x)?f(x),则?f(t?a)dt? （F(x?a)?F(2a)）

ax

8

19. 若f(x)在[a,b]上连续，则曲线y?f(x)与直线x?a,x?b,y?0所围成平面图形的面积等

于（?f(x)dx ）.

ab

9