高三艺术生数学复习资料 - 函数的对称性和周期性(2)

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f(x?2a)?f((x?a)?a)?b?f(x?a)?b?(b?f(x))?f(x)

五、典型例题

例1 （2005·福建理）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)?0，则方程

f(x)?0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

得f(3)?0，f(2)?0?f(5)?0

解：f(x)是R上的奇函数，则f(0)?0，由f(x?3)?f(x)f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0 ∴f(4)?0

∴x=1，2，3，4，5时，f(x)?0 这是答案中的五个解。

但是 f(?1?5)?f(?1?5?3)?f又 f(?1?5?)?f而 0?f(1?5)?f ?1(知 f(1?5)?0 ?(1 5(?1?53?f) (?知4 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立，

可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。

例3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x)，则f(6)的值为（ ）

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为f(x)是定义在R上的奇函数

所以f(0)?0，又f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函数，f(x)的周期为4 所以f(6)?f(2)??f(0)?0，选B

例4．已知奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x),且x?(0,1)时,f(x)?2,则f(log118)的值

2x为 。

解：?f(x?2)??f(x)?f?x???f(x?2)?f(x?4)

89f(log118)?f(?log218)?f(4?log218)?f(log2)?f(?log2)

9829log299??f(log2)??28??

88

例5 已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x?(0,1)时，f(x)?x?1.

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求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1：

从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 ∵x?(1,2) , 则?x?(?2,?1)

∴2?x?(0,1), ∵ T?2，是偶函数

∴ f(x)?f(?x)?f(2?x)?2?x?1?3?x

x?(1,2)

解法2：

（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)?f(x?2)

如图：x?(0,1), f(x)?x?1.∵是偶函数

∴x?(?1,0)时f(x)?f(?x)??x?1 又周期为2，x?(1,2)时x?2?(?1,0) ∴f(x)?f(x?2)??(x?2)?1?3?x

例6 f(x)的定义域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008

求 f(2008)的值。

f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1解：f(x)????f(x?8)

f(x?4)?1f(x?2)?1?1f(x?4)f(x?4)?1周期为8，?f(2008)?f(0)?2008

例7 函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??_______________。 解：由f?x?2??1，若f?1???5,则f?f?5??? f?x?11?f(x)，所以f(5)?f(1)得f?x?4??，则??5f?x?f?x?2?11??

f(?1?2)5f?f?5???f(?5)?f(?1)?例8 若函数f(x)在R上是奇函数，且在??1，0?上是增函数，且f(x?2)??f(x).

①求f(x)的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x?2k?1轴对称, (k?Z); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4.

)称的点为②设P(x,y)是图象上任意一点,则y?f(x),且P关于点(2k,0对

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.P关于直线x?2k?1对称的点为P P1(4k?x,?y)2(4k?2?x,y)∵f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴点P在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 1又f(x)是奇函数,f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

x?2k?1对称. ∴点P2在图象上,图象关于直线

③设1?x1?x2?2，则?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1 ∵f(x)在(?1,0)上递增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*)

又f(x?2)??f(x)?f(?x) ∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2) . 所以：f(x2)?f(x1) ，f(x)在(1,2)上是减函数.

例9 已知函数y?f(x)是定义在R上的周期函数，周期T?5，函数y?f(x)(?1?x?1)是奇函数.又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x?2时函数取得最小值?5.

（1）证明：f(1)?f(4)?0； （2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式； （3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.

解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[?1,1上是奇函数，∴f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)，∴f(1)?f(4)?0. ②当x?[1,4]时，由题意可设f(x)?a(x?2)2?5 (a?0)，

22由f(1)?f(4)?0得a(1?2)?5?a(4?2)?5?0，∴a?2，

2∴f(x)?2(x?2)?5(1?x?4).

③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函数，∴f(0)?0，

又知y?f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)?kx(0?x?1)

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而f(1)?2(1?2)2?5??3，

∴k??3，∴当0?x?1时，f(x)??3x，

从而?1?x?0时，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1时，f(x)??3x. ∴当4?x?6时，有?1?x?5?1，∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15. 当6?x?9时，1?x?5?4，

∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]2?5?2(x?7)2?5 ∴f(x)????3x?15,24?x?66?x?9?2(x?7)?5,.

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