2019-2020年高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题4立体几何(3)

所以CF⊥平面ABED.以F为坐标原点，过点F且平行于AE的直线为x轴，FB，FC所在直线分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz， 则F(0,0,0)，

A?23??26??23??26

，－，0?，C?0，0，?，E?0，－，0?，

33??3?3???

→?262326??→?

从而AE＝?－，0，0?，CE＝?0，－，－?.

33??3??设平面ACE的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →??m·AE＝0，

则?

→??m·CE＝0，

26?－

?3x＝0，即?

2326－y－z＝0，??33

11

1

令z1＝1，

则x1＝0，y1＝－2，

可得平面ACE的一个法向量为m＝(0，－2，1)．

→→2

假设在AB上存在一点P，使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为，且AP＝λAB3(0≤λ≤1)．

?23?因为B?0，，0?，

3??

→?2643?

所以AB＝?－，，0?，

3?3?→?2643?

故AP＝?－λ，λ，0?.

3?3?→?262326?

又CA＝?，－，－?，

33??3→→→?26

所以CP＝CA＋AP＝?

?3→?26?又FC＝?0，0，?，

3??

设平面PCF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →??n·FC＝0，

则?

→??n·CP＝0，

－λ

23

，

3

λ－

26?，－?，

3?

26??3z＝0，即?26??3－λ

2

x2＋23

3

λ－y2－

26

z2＝0，3

令x2＝2λ－1，得n＝(2λ－1，2(λ－1)，0)为平面PCF的一个法向量， 所以|cos〈m，n〉|＝?2

解得λ＝或λ＝0，

3

因此存在点P，且P为线段AB上靠近点B的三等分点或P与A重合时，平面ACE与

?m·n?＝??|m||n|?3·

λ－λ－

2＋λ－

2

＝， 23