2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第11讲 一元

人人人他他他有意义第11讲 一元二次方程根的分布

422

1．若关于x的方程x＋ax＋a－1＝0有且仅有一个实根，则实数a的值的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

2

2．若方程lgx＋(lg 5＋lg 7)lg x＋lg 5·lg 7＝0的两根是α，β，则α·β的值是( )

1

A．lg 5·lg 7 B．lg 35 C．35 D.

35

22

3．已知x1，x2是关于x的方程x－(k－2)x＋(k＋3k＋5)＝0(k为实数)的两个实数根，22

则x1＋x2的最大值是( )

50

A．19 B．18 C. D．不存在

9

2

4．已知关于x的方程x＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．

2

5．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x＋mx＋3＝0有两个实数根x1，x2，且0

2

6．关于x的一元二次方程5x－ax－1＝0有两个不同的实根，一根位于区间(－1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数a的取值范围为________．

2xx7．若关于x的方程2＋2a＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为____________．

2

8．(2016年广西柳州一中模拟)若关于x的方程x＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另

b－2

一个根在(1,2)内，则的取值范围是________．

a－1

9．已知f(x)＝log4(4＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值；

4?x?(2)设g(x)＝log4?a·2－a?，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实3??

数a的取值范围．

2

10．已知a是实数，函数f(x)＝2ax＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

x 1

人人人他他他有意义第11讲 一元二次方程根的分布

1．A 解析：设f(x)＝x＋ax＋a－1，则f(x)为偶函数?f(x)与x轴交于原点?a－1＝0?a＝±1，经检验a＝－1原方程有三个实数根，不合题意．

11

2．D 解析：由题意，得(lg x＋lg 5)(lg x＋lg 7)＝0，则α＝，β＝，α·β＝

57

1. 35

222

3．B 解析：Δ＝(k－2)－4(k＋3k＋5)＝－3k－16k－16≥0，①

4

解①，得－4≤k≤－. 3

2

由韦达定理，得x1＋x2＝k－2，x1x2＝k＋3k＋5. 2222222

∴x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝(k－2)－2(k＋3k＋5)＝－k－10k－6＝－(k＋5)＋19.

4???4?502

∵k＝－5??－4，－?，设f(k)＝－(k＋5)＋19，则f(－4)＝18，f?－?＝<18.

3???3?922

∴当k＝－4时，(x1＋x2)max＝18.故选B.

2

4．(－∞，1) 解析：设函数f(x)＝x＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.

2

5．－4 解析：因为关于x的一元二次方程x＋mx＋3＝0有两个实数根x1，x2，且0

2

所以二次函数f(x)＝x＋mx＋3分别在(0,2)和(2,4)内各有一个零点．

?f?2m＋7<0，f，??所以???

??fm＋m＋?f?

4

2

2

2

??2m＋7<0，????4m＋19>0，

7

m<－，??2所以?19

m>－??4，

197

即－

42

f－＝5＋a－1>0，

??f(0)＝－1<0，19

6．4

??f＝20－2a－1>0.

2

2

19

解得4

7．(－∞，2－2 2] 解析：方法一(换元法)，设t＝2(t＞0)，则原方程可变为t＋at＋a＋1＝0，(*)

原方程有实根，即方程(*)有正根．

2

令f(t)＝t＋at＋a＋1.

①若方程(*)有两个正实根t1，t2，

Δ＝a－a＋??

则?t1＋t2＝－a＞0，??t1·t2＝a＋1＞0，

2

x，

解得－1＜a≤2－2 2.

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，

2

人人人他他他有意义则f(0)＝a＋1＜0，解得a＜－1.

③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－＞0，解得a＝－1.

2

综上所述，a的取值范围是(－∞，2－2 2]．

2x2＋1

方法二(分离变量法)，由方程，解得a＝－x，

2＋1

x设t＝2(t＞0)，

2t2＋1?－1?则a＝－＝－?t＋?

t＋1?t＋1?

2??＝2－?t＋＋，其中t＋1＞1， t＋1???

2

由基本不等式，得(t＋1)＋≥2 2，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－2 2.

t＋1

af???1?2

8.?，1? 解析：令f(x)＝x＋ax＋2b.由题意，得?f?4???fb＞0，??

?a＋2b＜－1，??a＋b＞－2.

＞0，＜0，＞0，

即

根据条件作出可行域如图D98，b－21

表示可行域内点与点(1,2)的连线的斜率，可知＜a－14

b－2

＜1. a－1

图D98

?4＋1?9．解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝log4(4＋1)＋kx＝f(－x)＝log4?x?－?4?

xxkx，解得k＝－. 1x(2)由(1)知，f(x)＝log4(4＋1)－x.

24??4＋1＝2?2－?a，??3??

又f(x)＝g(x)，则?

?2－4?>0，a????3??

xxxx1

2

4ax2xx所以(a－1)2－2－1＝0.记2＝t(t>0)，

3

4a2

则方程h(t)＝(a－1)t－t－1＝0有且只有一个正数根．

34

①当a＝1时，h(t)＝－t－1＝0无正实根；

3

3

人人人他他他有意义1623

②当a≠1时，Δ＝a＋4(a－1)＝0，解得a＝，或a＝－3.

94

31

而当a＝时，t＝－2<0，不符合题意，舍去；当a＝－3时，t＝>0；

4216231

③当Δ＝a＋4(a－1)>0，即a>，或a<－3时，方程有两根，则有t1t2＝－<0，

94a－1

解得a>1.

综上所述，当a∈{－3}∪(1，＋∞)时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点． 10．解：若a＝0，则f(x)＝2x－3，显然在[－1,1]上没有零点，所以 a≠0.

2

令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a＋24a＋4＝0，

－3±7

解得a＝.

2－3－7－3＋7

①当a＝时，y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；当a＝时，y＝f(x)

22

在[－1,1]上无零点；

②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)≤0，即1≤a≤5，当a＝5时，方程f(x)＝0在区间[－1,1]上有两个相异实根，故1≤a<5时，y＝f(x)在[－1,1]上恰有一个零点．

③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，

?Δ＝8a＋24a＋4>0，?1

则?－1<－<1，

2af，??f－，

2

a>0，

?Δ＝8a＋24a＋4>0，

?1

或?－1<－<1，

2af，??f－

2

a<0，

－3－7

解得a≥5，或a<，

2

－3－7

综上所述，a的取值范围是a≥1，或a≤.

2

4