奥数：MSDC.初中数学 三角形A级 第03讲 学生版

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1.多边形及其内角和

１ 基本概念

⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．

⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．

⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．

⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．

２ 基本性质

⑴ 稳定性．

⑵ 内角和与外角和定理．

如下图，n边形的内角和为(n?2)?180?(n≥3)，多边形的外角和都是360?．

分割成(n-2)个三角形求内角和n个平角-内角和

⑶ n边形的对角线：一个顶点有(n?3)条对角线，共有

(n?3)n条对角线． 2⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180?．

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模块一 多边形的对角线

【例1】 如果一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是 ．

【巩固】已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个

多边形的各边之长．

【巩固】已知一个多边形的对角线的条数为边数的2倍，求该多边形的边数．

【例2】 一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是______边形．

【例3】 从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是__________

【巩固】一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多

边形的边数__________

模块二 多边形的内角和与外角和

内角和

【例4】 已知一个多边形的内角和是540?，则这个多边形是( )

A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．七边形

【巩固】一个多边形共有14条对角线，则它的内角和为___________.

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【例5】 在四边形ABCD中，?D?60?，?B比?A大20?，?C是?A的2倍，求?A，?B，?C的大小．

【巩固】如图，已知在一次科技活动中，需要将一张面积为10cm2的四边形四角都剪去一个扇形的区域，

扇形的半径均为1cm，求剩余纸张的面积．

【例6】 一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．

【巩固】如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160?，那么原来多边形的边数是 ． 【巩固】如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是 (结果保留π)．

外角和

【例7】 若一个正多边形的一个外角是40?，则这个正多边形的边数是( )

A．10

B．9

C．8

D．6

【巩固】已知一个五边形的外角度数之比为1:2:3:4:5，求它的内角大小．

【例8】 如右图，小明从点A出发，向前走2米，左拐20?，再向前走2米，再左拐20?，如此下去，小明

能否回到出发点A？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？

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