现代设计方法练习题(4)

来源：网络收集时间：2026-08-24

导读： 3. 可靠性与可靠度二者在概念上有何区别与联系 ? 答：可靠性是指产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成规定功能的能力。可靠度是指产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成规定功能的概率。两者的联系在于

3. 可靠性与可靠度二者在概念上有何区别与联系 ?

答：可靠性是指产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成规定功能的能力。可靠度是指产品在规定的时间内，在规定的条件下，完成规定功能的概率。

两者的联系在于，可靠度是对产品可靠性的概率度量。 4. 设计数据处理的常用方法有那些？

答：（1）取整数（2）四舍五入取整（3）按某数的倍数取整（4）取标准值（5）判断两实数是否相等

5. 简述求解优化问题的图解法基本步骤

答：图解法的基本步骤是：首先确定设计空间；再作出约束可行域；画出目标函数的一簇等值线；最后根据等值线与可行域的相互关系确定最优点。 6. 请简述梯度法和共轭梯度法的特点。

答：梯度法：梯度法又称最速下降法，基本原理是在迭代点附近采用使目标函数值下降最快的负梯度方向作为搜索方向，求目标函数的极小值。特点：迭代计算简单，只需求一阶偏导数，所占的存储单元少，对初始点的要求不高，在接近极小点位置时收敛速度很慢。共轭梯度法：在梯度法靠近极值点收敛速度减慢的情况下，共轭梯度法可以通过构造共轭方向，使其收敛速度加快，具有一次收敛速度，使得计算过程简便，效果又好；在每一步迭代过程中都要构造共轭方向，比较繁琐。

7. 若应力与强度服从正态分布，当应力均值 μ s 与强度均值 μ r 相等时，试作图表示两者的干涉情况，并在图上示意失效概率 F. f(s) f(r)f(y)uy?0 urusr,s,y8. 要用薄钢板制造一体积为 5 的汽车货箱（不带上盖），由于运输的货物长度不能小于 4m ，为了使耗费的钢板最少并减少质量，应如何选取货箱的长、宽和高。试写出这一优化问题的数学模型。解：不带盖的货箱表面积(钢板的耗费量与货箱的表面积成正比优化设计的目标是钢板的耗费量最少即货箱的表面积S最小) )

S= x1*x2+2（x2*x3+ x1* x3）

S是x1、x2和x3的函数称为目标函数。

参数X1、X2和X3称为设计变量。优化设计就是恰当地选择这些参数设计变量使货箱表面积S(目标函数达到最小。选择这些参数受到货箱 x1*x2*x3=5，x≥4,x≥0,x≥0

以上限制设计变量x1、x2、x3的表达式称为约束条件。

1.已知某零件的工作应力和材料强度均服从正态分布，且应力的均值为 480Mpa, 标准差为 36Mpa ，材料强度的均值为 600 Mpa ，标准差为 78 Mpa ，试确定零件的可靠度。

解：零件的工作应力和材料强度均服从正态分布，且

?r?78MPa,?r?600MPa,?s?36MPa,?s?480MPa

????r??s???2r2s?600?48078?3622?1.39686

查表得,该零件的可靠度为:R=0.91924

2.某产品的失效时间服从指数分布 , 其平均寿命为 5000h, 试求其使用 125h 的可靠度和可靠度为 0.8 时的可靠寿命

解： ①∵ R(t)= e??t 又∵t = =5000

∴?=1/5000 R(125)= e?125/5000= 0.9753

② ∵ R(t)= e?t/5000=0.8 ∴t=-5000㏑0.8=1115.7h

3. 4个单元组成的并联系统，可靠度分别为RA=0.9 RB =0.8 RC=0.7 RD=0.6,求 RS=?

解：RS=1? ?(1?Ri)

=1? (1?0.9)?(1?0.8) ? (1?0.7) ? (1?0.6) =0.9976

4.有三个可靠度均为0.9的单元组成的系统，试比较纯并联及2/3表决系统的可靠度。

解：纯并联系统可靠度：

RS=1? ?(1?Ri) =1?(1?0.9)3 =1?0.13=0.999

2/3表决系统可靠度为：RS= 3R 2?2R3 =3????2???0.92=0.972 一般公式：n中取k系统的可靠度可按二项式分布计算

R(t)=?Pn(i)= ?Cni Ri Fn-i

5.由三个单元组成的并联系统,若每个单元分配的可靠度相等,即R1 =R2=R3=R,已知系统的可靠度指标Rs=0.99, 试求分配到各个单元的可靠度。

解:∵ RS=1?(1? R1 )(1? R2 )(1? R3 ) = 1?(1? R)3

∴R= 1?(1? RS)1/3 = 1?(1? 0.99)1/3=0.7845 ∴ R1 =R2=R3=0.7845 6.用梯度法，从起始点

开始，求无约束问题

的最优解。（计算两步）

T?F(x)?{2x?x,2x?x?4}1221 答（1）求初始点梯度

(10)T?F(x)?{0,4}

（2）第一次搜索

(0) a?2 x(1)?F(x(10))?4(0)(10)TS???F(x)/4??{0,1}

?x(0)?aS(0)?{0,0}T?2{0,1}T?{0,?2}T

(1)(1)(1)T?F(x)?2S???F(x)/2??{0,1}（3）第二次搜索

a(1)?1 x(2)?x(1)?aS(1)?{0,?2}T?2{1,0}T?{?1,?2}T

7.一组合变换如下，先将图形绕（ 3 ， 4 ）点旋转 60 °，然后放大一倍。试

求该组合变换的变换矩阵；三角形各顶点的坐标为 A （ 10 ， 0 ）、 B （ 10 ， 20 ）、 C （ 0 ， 20 ），试求经过上述变换后三角形各顶点坐标。答．（1）将图形绕（3，4）点旋转60°的变换矩阵：

00??cos(60?)sin(60?)0??100??0.5?1???sin(60?)cos(60?)0??010???0.866T1??010????????001???3?41?? ??4.9643????341??=??200??T2??020????001?? 将图形放大一倍

该组合变换的变换矩阵：

0?0.50???0.5981??

0.866?0.5T?T1?T2????0.866??4.96430??200??1?020????1.7320.50??????0.5981????001????9.9280.8660?10???1.1961??

1.732?1001???ABC??10201????0201?? （2）三角形顶点坐标矩阵为：

变换后三角形的坐标：?A?B?C???ABC?T

?1001??1?10201??1.732????0201????9.928=?0??19.92816.1241???14.71236.1241?10?????1.1961??=??24.71218.8041?? 1.7328.求函数

矩阵，并判别其是否正定

?F?2(x1?x2)?2(x3?x1)?x1的Hessian

解：(1)

?F?2(x2?x3)?2(x1?x2)?x2

?F?2(x3?x1)?2(x2?x3)?x3

?2F?2F?2F?4,2?4,2?42?x?x2?x3 1

?2F?2F?2F??2,??2,??2?x1?x2?x1?x3?x2?x3

?4?2?2??H(X)???24?2?????2?24?? (2)

∵|4|=4>0

4?24?2?244?12?0?2?2?2?16?04 (3)

?2?2

∴H(X)正定

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