离散数学定义定理（上）(4)

定义3.8.10 设为全序集，如果A的任何非空子集都含有最小元，称为良序集。

定义3.9.1 设X和Y是任何两个集合，而f是X到Y的一个关系，如果对于每一个x∈X，有惟一的y∈Y，使得∈f，称关系f为函数，记作

f:X Y或。

假如∈f，称x为自变元，与x相对应的y称为函数在x处的值，记作y=f(x)，即∈f。y称为f作用下的x的象。

从函数定义可以知道它与关系有别于如下两点：

（1）函数的定义域是X，而不能是X的某个真子集，这点可以表示为domf=X.

（2）一个x∈X只能对应惟一的y∈Y,使得∈f称f为函数。

定义3.9.2 设f，g，都是X到Y上函数，它们有相同的定义域与值域，即

domf=domg，rang=rang，

且对每个x∈X都有f(x)=g(x)，称函数f与g是相等的，并记作f=g。

定义3.9.3 设X，Y为集合，把所有从X到Y的函数构成的集合记作YX,即

Yx={f|f: X Y}。

定义3.9.4 给定函数f: X Y。

（1）若ranf=Y称f是满射的或f为到上的。

（2）若函数满足x1，x2∈X，若x1 x2时必有f(x1) f(x2)，则称f为入射的。

（3）若函数f既是满射，又是入射，则称f为双射。

定义3.10.1 设f: X Y，g: Y Z，合成关系f g={|（x∈X）∧（z∈Z）∧（ y）（y∈Y）∧（y=f（x）∧z=g(y)）}，称f g为，f，g的做合成运算或复合运算。

定理3.10.1设f: X Y，g: Y Z是两个函数，合成运算g f是X Z的函数，且对每一个x∈X有(g f)(x)=g(f(x))。

定义3.10.2设函数f: X X，若对所有x∈X有f(x)=x，则称f为X上的恒等函数，并记作IX。

定理3.10.2 设f: X Y是任意函数，则IX f=f IX=f。

定义3.10.3 给定集合X和Y，且有函数，f: X Y，对所有x∈X，存在惟一y0∈Y，使得f(x)=y,即ranf=y0，则称f是常值函数。

定理3.10.3 令g f是一个复合函数。

（1）若g和f是满射的，则g f是满射的。（2）若g和f是如射的，则g f是入射的。（3）若g和f是双射的，则g f是双射的。

定理3.10.4 设f: X Y是一个双射函数，那么fc是Y Z的双射函数。

定义3.10.4设f: X Y是一个双射函数，称Y X的双射函数f-1为f的逆函数。

注意：fc(逆关系)不一定是f-1（逆函数）。

一个函数f: X Y，要有逆函数，必须f是双射的。否则只能保证有fc，但未必有逆函数f-1存在。

定理3.10.5设f: X Y是一个双射函数，g: Y Z是一个双射函数，

则（1）f-1 f=IX，f-1 f-1=Iy； （2）（f-1）-1=f； （3）（g f）-1= g-1 f-1