五年高考三年联考数学分章练习：极限

第十三章 第三节 极限

第三节 极限

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

一、选择题

2x2?ax?b)?2，其中a,b?R，则a?b的值为 1、（09重庆理8）已知lim(x??x?1A.?6 【解析】

2（ ）

B.?2

C.2

D.6

lim2x?ax?ax?bx?b(2?a)x?(a?b)x?b?limlimx??x??x??x?1x?122(2?a)x?(a?b)?1?1xbx?2

?2?a?0则?,解得a?2,b??4,故a?b?2?(?4)?6

?(a?b)?2?答案 D

2、（09湖北理6）设（2?x)2n?a0?a1x?a2x2?...?a2n?1x2n?1?a2nx2n， 222则lim[(a0?a2?a4?...?a2n)?(a1?a3?a5?...?a2n?1)]?

n?? （ ）

A.-1 B.0 C.1 D.【解析】令x?0得a0?(令x??1时(2 222n12)?n令x?1时(?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 2222?1)2n?a0?a1?a2?????a2n 2(两式相加得：a0?a2?????a2n?(22?1)2n?(?1)2n22

222?1)2n?(?1)2n22

2两式相减得：a1?a3?????a2n?1?代入极限式可得，故选B 答案 B

二、填空题

13

3、（09陕西理13）设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则limSn? . n??n2?a6?12?a1?5d?12?a1?2Snn?1Snn?1解析：???S?n(n?1)???lim?lim?1???n2n??n2n??ns?12a?d?12d?2nn??1?3 答案 1

2005—2008年高考题

一、选择题

x3?x21、（2007年江西）lim

x?1x?1Ａ．等于0 答案 B

Ｂ．等于1

（ ）

Ｃ．等于3

Ｄ．不存在

p?1??1???1n?2、（2007年湖北）已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim? ?（ ）qn→??1??1???1?n?A．0 答案 Ｃ

3、（2006湖南）数列{an}满足:a1?

B．1

C．

p q D．

p?1 q?11,且对于任意的正整数m,n都有am?n?am?an,则 3

( )

lim(a1?a2???an)?

n??

123 B. C. D.2 2321【解析】数列{an}满足: a1?, 且对任意正整数m,n都有

3111am?n?am?ana2?a1?1?a1?a1?，an?1?an?a1?an，∴数列{an}是首项为，

393A.公比为

1a1的等比数列。lim(a1?a2???an)?1?，选A.

n???31?q2答案 A

4、（2005年全国Ⅱ理5）lim??A ?12?

???2x?1x2?3x?2x?4x?3?? ( )

1111 B C ? D 2266??1212?lim????? ?x?1?22x?3x?2x?4x?3(x?1)(x?2)(x?1)(x?3)????13

【解析】 lim??x?1lim?(x?1)?11?lim??,选(A)

x?1(x?1)(x?2)(x?3)x?1(x?2)(x?3)2答案 A

二、填空题

3n?1? . 5、（2008上海2）计算：limn?1nn??3?2答案

1 3Sn= .

n??n26、（2007年全国Ⅱ理16）已知数列的通项an=－5n+2,其前n项和为Sn, 则lim答案 -

5 2Sn(?5n?1)5，则limn=－.

n??n222【解析】数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn7、（2006天津）设函数f?x??1，点A0表示坐标原点，点An?n,f?n??n?N*，若向x?1?????????????????????????量an?A0A，是与的夹角，（其中，设 i?i??1,0?）?AA???AAan112n?1nn??Sn?tan?1?tan?2???tan?n，则limSn= ．

n??【解析】函数f?x??1，点A0表示坐标原点，点An?n,f?n??n?N*，若向量 x?1??1??????????????????????????????1tan?n?n?1?（其 ?n是an与i的夹角，an?A0A1?A1A2???An?1An=A0An，

nn(n?1)?1111?????1?中i??1,0?），设Sn?tan?1?tan?2???tan?n，1?22?3n(n?1)n?1则limSn=1．

n??答案 1

8、（2005年上海2）lim答案 0

三、解答题

n?2? .

n??1?2???n9、（2007年辽宁）已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x?R满足条件：

an?bn，f(bn)?g(bn?1)(n?N*).

，t?0，t?2，g(x)?2x，f(b)?g(b)，lima存在，求x的取（I）若f(x)≥tx?1nn??13

值范围；

（II）若函数y?f(x)为R上的增函数，g(x)?f?1(x)，b?1，f(1)?1，证明对任意

n?N*，liman（用t表示）．

n???an?1?tbn?1?1t(Ⅰ)解法一：由题设知?得an?1?an?1，又已知t?2,可得

2?an?2bn?1,an?1?2t2?(an?). t?22t?2由f(b)?g(b),t?2,t?0,可知a1?2tt2???tb??0,?0,所以?an?? t?2t?22t?2??tt,公比为.于是 t?222tttttan??(tb?)()n?1,即an?(tb?)()n?1?.

t?2t?22t?22t?2t又liman存在，可得0＜||＜1,所以-2＜t＜2且t?0.

22liman?. n??2?t解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且t?2.可得

1t1bn?1??(bn?).

t?22t?2是等比其首项为tb?由f(b)?g(b),t?2,t?0,可知b?1t?0,?0,所以t?221??b??n?是首项为

t?2??1t,公的等比数列. t?2211t1t1bn??(b?)()n?1,即bn?(b?)()n?1?.

t?2t?22t?22t?2b?由an?2bn?1 可知，若liman存在，则limbn存在.于是可得0＜|n??n??t|＜1,所以-1＜2t?0.

liman=2limbn?n??n??2. 2?t解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即

bn?1?t1bn?,① 22于是有

t1bn?1?,② 22t②-①得bn?2?bn?1?(bn?1?bn),令cn?bn?1?bn,得

2bn?2?13

cn?1?tcn. 2(t?2)b?1t?0,?0，所以?cn?是首

22由f(b)?g(b),t?2,t?0可知c1?b2?b1?项为b公比为

t的等比数列，于是 2t1?()n2(b?b)?b. bn?1?(c1?c2????cn)?b1?21t1?2t4[1?()n]2（b2-b1）+2b. an?2bn?1?2?tt又liman存在，可得0＜||＜1,所以-2＜t＜2且t?0. n??242liman?(b2?b1)?2b?. n??2?t2?t说明：数列?an?通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.

(Ⅱ)证明：因为g(x)?f?1(x),所以an?g(bn?1)?f?1(bn?1),即bn?1?f(an).

下面用数学归纳法证明an?1＜an(n?N*). (1)当n=1时，由f(x)为增函数,且f(1)＜1,得

a1?f(b1)?f(1)＜1 b2?f(a1)?f(1)＜1 a2?f(b2)＜f(1)?a1，

即a2＜a1，结论成立.

（2）假设n=k时结论成立，即ak?1＜ak.由f(x)为增函数，得

f(ak?1)＜fak即bk?2＜bk?1进而得 f(ak?1)＜f(bk?1)即ak?2＜ak?1.

这就是说当n=k+1时，结论也成立.

根据（1）和（2）可知，对任意的(n?N*)，an?1＜an.

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