信号与系统试题库(4)

如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数G(s)=1/[(s+1)(s+2)]

F(s)∑KG(s)Y(s)解：设加法器的输出信号X(s) X(s)=KY(s)+F(s)

Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s) H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k) H(s)的极点为

p1,2

3?3???????2?k2?2?2为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k<(3/2)2, k<2，即当k<2，系统稳定。

如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？

解：如图所示，

16

在加法器处可写出系统方程为： y”(t) + 4y’(t) + （3-K）y(t) = f(t) H（S）=1/（S2+4S+3-K）

其极点

p1,2??2?42?4(3?k)

p1,2??2?4?4k为使极点在左半平面，必须4+4k<22, 即k<0，

当k<0时，系统稳定。

如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？

解：如图所示，

在前加法器处可写出方程为： X”(t) + 4X’(t) + 3X(t) -Ky(t) = f(t) 在后加法器处可写出方程为： 4X’(t) + X(t) =y(t) 系统方程为：

y”(t) + 4y’(t) + （3-K）y(t) =4f’(t)+ f(t)

H（S）=（4S+1）/（S2+4S+3-K）

其极点 p1,2??2?42?4(3?k)

p1,2??2?4?4k为使极点在左半平面，必须4+4k<22, 即k<0，

当k<0时，系统稳定。

如图离散因果系统框图 ，为使系统稳定，求常量a的取值范围

2

F(z)∑z?1∑aY(z)17

解：设加法器输出信号X(z) X(z)=F(z)+a/Z*X(z)

Y(z)=(2+1/z)X(z)= (2+1/z)/(1-a/z)F(z) H(z)= (2+1/z)/(1-a/z)=(2z+1)/(z-a)

为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内， 故|a|<1

12??1??????周期信号 f(t) = 1 ? cos ? ? sin ? t ? ? ? t ?243436????

试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。

解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即

12???????1??f(t)?1?cos?t?????cos?t??? 2362??4?4?3

显然1是该信号的直流分量。 1??2?? 1?? ??? 的周期T2 的周期T1 = 8 cos ? ? cos?t??4?33?23?= 6 ?4

所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T = π/12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为

22 1?1?1?1?37P= 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 4????32

1 ? ? t ? ? ? 是f(t)的[π/4]/[π/12 ]=3次谐波分量； cos??3? 2?4

1 ? ? ? 2 ? ? 是f(t)的[π/3]/[π/12 ]=4次谐波分量； cos?? 4?33?画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图

An A01 2 o?12

?n12?314o?3?12?6?4?2?3?3ω?6?4ω(b)(a)18

二、计算题。已知信号f(t)?t?(t)

1、分别画出f1(t)?t?t0、f2(t)?(t?t0)?(t)、f3(t)?t?(t?t0)和

f4(t)?(t?t0)?(t?t0)的波形,其中 t0?0。

2、指出f1(t)、f2(t)、f3(t)和f4(t)这4个信号中，哪个是信号f(t)的延时t0后

的波形。并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。 3、求f2(t)和f4(t)分别对应的拉普拉斯变换F2(s)和F4(s)。 1、

2、f4(t)信号f(t)的延时t0后的波形。 3、F2(s)?F1(s)?F4(s)?1t0? s2s1?st0e。 2s

三、计算题。如下图所示的周期为2?秒、幅值为1伏的方波us(t)作用于RL电路，已知R?1?，L?1H。

1、写出以回路电路i(t)为输

出的电路的微分方程。 2、求出电流i(t)的前3次谐

波。

解“

???1,?t??221、us(t)??。

???0,???t??,?t??22?512、us(t)?a0??ancos(nt)

2n?1 19

152n?1222???sin()cos(nt)??cos(t)?cos(3t)?cos(5t)2n?1n?22?3?5?

i?(t)?i(t)?us(t)

i(t)?11111?cos(t)?sin(t)?cos(3t)?sin(3t) 2??15?5?四、计算题。已知有一个信号处理系统，输入信号f(t)的最高频率为fm?2??m，抽样信号s(t)为幅值为1，脉宽为?，周期为TS（TS??）的矩形脉冲序列，经过抽样后的信号为fS(t)，抽样信号经过一个理想低通滤波器后的输出信号为

y(t)。f(t)和s(t)的波形分别如图所示。

1、试画出采样信号fS(t)的波形；

2、若要使系统的输出y(t)不失真地还原输入信号问该理想滤波器的截止频率?c和抽样信号s(t)f(t)，

的频率fs，分别应该满足什么条件？ 解： 1、

2、理想滤波器的截止频率?c??m,抽样信号s(t)的频率fs?2fm。

五、计算题。某LTI系统的微分方程为：y??(t)?5y?(t)?6y(t)?2f?(t)?6f(t)。已知f(t)??(t)，y(0?)?2，y?(0?)?1。

求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应yzi(t)、yzs(t)和y(t)。 解：

??11?1、F(s)???(t)e?stdt??e?stdt??e?st|?。 000ss2、s2Y(s)?sy(s)?y?(0?)?5sY(s)?5y(0?)?6Y(s)?2sF(s)?2f(0?)?6F(s)

sy(0?)?y?(0?)?5y(0?)2s?1175???3、Yzi(s)?

s2?5s?6s2?5s?6s?2s?3Yzs(s)?

（2s?3）12111????? 2ss?2sss?2s?5s?620