信号与系统试题库(3)

解：x”(t) + 4x’(t)+3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t) + x(t)

则：y”(t) + 4y’(t)+ 3y(t) = 4f’(t) + f(t)

根据h(t)的定义 有

h”(t) + 4h’(t) + 3h(t) = δ(t) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。

因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得 [h’(0+) - h’(0-)] + 4[h(0+) - h(0-)] +3 = 1 考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0

h’(0+) =1 + h’(0-) = 1

对t>0时，有 h”(t) + 4h’(t) + 3h(t) = 0 故系统的冲激响应为一齐次解。

微分方程的特征根为-1，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-t + C2e-3t)ε(t) 代入初始条件求得C1=0.5,C2=-0.5, 所以 h(t)=(0.5 e-t – 0.5e-3t)ε(t)

三、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 4y’(t) + 3y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-2t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；

解: (1) 特征方程为λ2 + 4λ+ 3 = 0 其特征根λ1= –1，λ2= –2。齐次解为

yh(t) = C1e + C2e 当f(t) = 2e

–2 t

-t

-3t

时，其特解可设为

-2t

yp(t) = Pe 将其代入微分方程得 P*4*e

-2t

+ 4(–2 Pe) + 3Pe = 2e

-2t-t-2t

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解得 P=2

于是特解为 yp(t) =2e

全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e + C2e其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 2 = 2，

y’(0) = –2C1 –3C2 –1= –1

解得 C1 = 1.5 ，C2 = –1.5 最后得全解 y(t) = 1.5e

– t

-t

-3t

-t

+ 2e

-2t

– 1.5e

– 3t

+2 e

–2 t

, t≥0

三、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；

解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= –2，λ2= –3。齐次解为

yh(t) = C1e -2t + C2e -3t 当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp(t) = Pe -t

将其代入微分方程得

Pe -t + 5(– Pe-t) + 6Pe-t = 2e-t 解得 P=1

于是特解为 yp(t) = e-t

全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e-2t + C2e-3t + e-t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，

y’(0) = –2C1 –3C2 –1= –1

解得 C1 = 3 ，C2 = – 2

最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 e?s?s?s四、如图信号f(t)的拉氏变换F(s) = 2 ( 1 ? e ? s e )，试观

s

察y(t)与f(t)的关系，并求y(t) 的拉氏变换Y(s)

e?s(1?e?s?se?s)2s

A卷 【第2页 共3页】

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解y(t)= 4f(0.5t) Y(s) = 4×2 F(2s) ?8e?2s?2s?2s2(1?e?2se) ?2s? 2e?2s??2s s2(1?e?2se?2s)

解：部分分解法　F(s)?k1s?k2s?1?k3s?3（m?n） 其中k1?sF(s) s?0 ?10(s?2)(s?5) (s?1)(s?3)?100s?03 解：k2?(s?1)F(s) s??1 ?10(s?2)(s?5) s(s?3)??20s??1 k3?(s?3)F(s) s??3 ?10(s?2)(s?5) s(s?1)??10s??33 解：?F(s)?1003s?20s?1?103(s?3) ?f(t)???100 ?3?20e?t?10?3e?3t???(t) 已知F(s)?s3?5s2?9s?7 (s?1)(s?2), 求其逆变换 解：分式分解法　F(s)?s?2?k1?1?k2ss?2

其中k1?(s?1)?s?3(s?1)(s?2)?2s??1

　　ks?32?s?1??1s??213

?F(s)?s?2?21?s?1s?2?f(t)??'(t)?2?(t)?(2e?t?e?2t)?(t)六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。

1f(t)0…Tt-T??2?2解：付里叶变换为

1e?jn?t?T?jn??2??22?Tsin(n??)2n?

Fn为实数，可直接画成一个频谱图。

14Fn?2?02?4?ω???六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的方波，其周期为4ms，如图所示,求频谱并画出频谱图。

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解：?=2?*1000/4=500?

付里叶变换为

? ??4(2n?1)?sin(2n?1)500?tn?1

Fn为实数，可直接画成一个频谱图。

或幅频图如上，相频图如下：

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