盐城中学2013届高三周练 数学理(10.27)(2)

?a2?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc?2bc?2 2?(2?32)2?122?2?62?2?10?a?10 212

16.（本小题共14分）已知函数f(x)＝－＋(x＞0)．

ax(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的增减性，并证明你的结论； (2)解关于x的不等式f(x)＞0；

(3)若f(x)＋2x≥0在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．

12122（x2－x1）

解 (1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2.则f(x1)－f(x2)＝－＋＋－＝.

ax1ax2x1x2x2－x1

因为x1＜x2，x1，x2∈(0，＋∞)，所以x2－x1＞0，从而＞0.

x1x2

所以得到f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 2a－x12

(2)由－＋＞0(x＞0)，即＞0.

axax

当a＞0时，解得0＜x＜2a.当a＜0时，解得x＞0.

故当a＞0时，不等式的解集为{x|0＜x＜2a}，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞0}． 2211

＋2x?(3)∵f(x)＋2x≥0(x＞0)，即＋2x≥.此不等式恒成立只需?大于或等于即可， ?x?minxaa2

而＋2x≥2x

2×2x＝4，当且仅当x＝1时取等号． x

11

所以4≥，解得a＜0或a≥.

a417 ．（本小题满分15分）

某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），

如果外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.

答案：长为18m，宽为

100m时，总造价最低为44800元. 9

18 ．（本小题满分15分）

6

112a2?4,a3?a2a6；（1）求{an}的通项公式； 24nbn?11?Sn，求证：当n?2时，??2． （2）设正项数列{bn}的前n项和为Sn，且 2Si?1n数列{an}为正项等比数列，且满足a1?解：（1）设数列?an?的公比为q，由a3?21122a2a6,得a3?a4,所以q2?4. 44由条件可知q?0,故q?2.由a1?11a2?4,得a1?a1q?4,所以a1?2. 22n所以，数列?an?的通项公式为：an?2；

(bn?1)2bn?1?Sn得：Sn?. （2）又由24当n?2时， bn?Sn?Sn?1bn?1???42bn?1?1???422,?4bn?(bn?bn2?1)?2(bn?bn?1)

2?(bn?bn2?1)?2(bn?bn?1)?0，?(bn?bn?1?2)(bn?bn?1)?0,?bn?0,?bn?bn?1?0,

?bn?bn?1?2?0,即?bn?bn?1?2,?数列?bn?为等差数列，且公差d?2,

(b1?1)2又b1?S1?，?b1?1，?bn?1?2(n?1)?2n?1.?Sn?n2

4当n?2时，

11111?2??? Snnn?n?1?n?1n??i?1n1111111?1?1????????2??2 Sn223n?1nn19．(本小题满分16分)

若函数f(x)为定义域D上单调函数，且存在区间?a,b??D（其中a?b），使得当

x??a,b?时，f(x)的取值范围恰为?a,b?，则称函数f(x)是D上的正函数，区间?a,b?叫做

等域区间．

（1）已知f(x)?x是?0,???上的正函数，求f(x)的等域区间；

（2）试探究是否存在实数m，使得函数g(x)?x2?m是???,0?上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

12 ???上的正函数，且f(x)?x在?0， ???上单调递增， 解：（1）因为f(x)?x是?0， 7

?? ?f?a??a，?a?a， b?时，?所以当x??a， 即? ?????????????????3分

???f?b??b，?b?b， b?1， 故函数f?x?的“等域区间”为?0， 1?；????????????5分 解得a?0， 0?上的减函数， （2）因为函数g(x)?x2?m是???，2? ? ?g?a??b，?a?m?b， b?时，?所以当x??a，即?2????????????????7分

? ??b?m?a，?g?b??a， 两式相减得a2?b2?b?a，即b???a?1?， ???????????????9分 代入a2?m?b得a2?a?m?1?0，

由a?b?0，且b???a?1?得?1?a??1， ????????????????11分

2 故关于a的方程a2?a?m?1?0在区间?1， ?1内有实数解，????????13分

2 ?h??1??0，?2 记h?a??a?a?m?1， 则?解得m??1， ?3． ?????16分 14h??0， ?2?

20. （本小题满分16分）

??????已知函数f(x)?lnx?2a,a?R． x（1）若函数f(x)在[2,??)上是增函数，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3，求实数a的值． 解：（1）∵f(x)?lnx?2a12a，∴f?(x)??2．????????????1分 xxx∵f(x)在[2,??)上是增函数，

x12a?2≥0在[2,??)上恒成立，即a≤在[2,??)上恒成立．????? 4分

2xxx令g(x)?，则a≤?g(x)?min,x?[2,??)．

2xa?1． g(x)?在[2,??)上是增函数，∴∵g(x)?min?g(2)?1．∴?2所以实数a的取值范围为(??,1]． ??????????7分

x?2a（2）由（1）得f?(x)?，x?[1,e]．

x2①若2a?1，则x?2a?0，即f?(x)?0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上是增函数．

3a?fx?f(1)?2a?3?所以?，解得（舍去）． ????????????10分 ????min2∴f?(x)?)0?，②若1≤2a≤e，令f?(x得x?2a．当1?x?2a时，f?(x)?0，所以f(x)在(1,2a)上是减函数，当2a?x?e时，f?(x)?0，所以f(x)在(2a,e)上是增函数．

8

所以??f?x???mine2?f?2a??ln(2a)?1?3，解得a?（舍去）．???????13分

2③若2a?e，则x?2a?0，即f?(x)?0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上是减函数． 所以??f?x???min?f?e??1?e?3，所以a?e． 综上所述，a?e．

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