电动力学复习题库02(5)

B到q a?R0 ?B?0?B到q? R0?b ?q?q??R0?ba?R0?q4??0(a?R0)?q?4??0(b?R0) （2分）

，

q?q??b＋R0a?R02 （2分）

?R0?ba?R0b?R0a?R0 ?b?R0a q???R0aq （2分）

??14??0R0q?1?q????ar??4???r0??????qR?a?2RaCos?22???a? （1分）

22R?b?2RbCos????R0q1．一个内半径和外半径分别维R2和R3的导体球壳，带电荷为Q。同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1

Q R1 R3 R2 SOLURION:

第一步：分析题意，找出定解条件。

根据题意，具有球对称性，电势不依赖于4极角?和方位角?，只与半径r有关，即 ?(r,?,?)??(r) (3.38) 故定解条件为 2??1?0. r?R3 ??2?0. R1?r?R2 2 (3.39)

边界条件

导体接地有

(3.40)

整个导体球壳为等势体，有 ?2r?R??1r?R (3.41)

球壳带电量为Q，根据Gauss定理

??Q??E?ds??0S (3.42)

得到

??12??22Q???rd????rd?? ?0?r?rr?Rr?R (3.43)

第二步，根据定解条件确定通解和待定常数。

P(cos?)?1?由方程(3.39)可看出，电势不依赖于，取n=0; 不依赖于?，取n，故得到导体球壳内、外空间的电势：

2332?2r?R1??1r???0

?B???1?A??r r?R3 ?D???2?C?r R1?r?R2 ) (3.44)

由(3.40)式得

当r??, ?1?0. ? A?0 当r?R1, ?2?0. ? C??DR 1 (3.45)

从而得到

????B1? ?r???11?2?D(r?R) 1 (3.46) 由(3.41)式得

BR?D(1?13R2R)1 (3.47) 由(3.42)式得 B?4??D?4??Q?0 (3.48)

即

B?D?Q4??0 (3.49)

将(3.49)式代入(3.48)式，即得

D?Q4??0R(?1?1)3R1R?12R3 (3.50)

令 QQ1??R113(R??11R2R)3 (3.51)

因此得到

A?0, B?Q4???Q104??0C??Q114??, D?Q0R14??0 (3.52)

将A, B, C, D系数代入到(3.46)式，即得电势的解为 ????B?Q?Q1 (r?R?1r4??r4??r3)?00????C?D??Q1?Q1 (?2r4??RR1?r?R2)014??0r 导体球上的感应电荷为

(3.53)

??0??r?R1??2?rrd????02??r?R1??Q111?2(?)?rd???r?4??0rR1????0?Q1??Q112?rd?????4??r20?r?R1?E2．介电常数为?的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场0中，球外为真空。求电势分布。

Solution:

第一步，根据题意，找出定解条件。

?E由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场0方向，介质球的存在使空间分为两个均匀的区域——球内和球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势?满足Laplace方程。以?1代表球外

? (3.54)

区域的电势，?2代表球内区域的电势，故 ????1?(r?R) ???????1?0 r??2??E0rcosθ??E0rP1(cosθ) ?1ε0??1?nr?R??2??2?nr?R ?εr?Rr?R (3.55)

(3.56)

第二步，根据定解条件确定通解和待定常数

?由于问题具有轴对称性，即电势i与方向角?无关，故

bn?n??(ar?)Pn(cos?) (r?R) n?1?1?nr?n?dnn???(cr?)Pn(cos?) (r?R) ?n2n?1?rn???2?2?0 ???2r?0?有限值 ?(r?R) ??2??1r?R r?R???1???2???0??n?nr?Rr?R? (3.57)

由(3.55)式得

?1r??1??n???(anr?bnn?1)Pn(cos?)?r?n???E0rP1(cos?)r?? (3.58)

比较两边系数，得

a1??E0 an?0. (n?1) (3.59)

由(3.56)式得

???r?d12r?0??(cn?nnn?1)Pn(cos?)?有限值?nr??r?0 (3.60)

从中可见

dn?0 (3.61)

故有

????1??E0rP1(cos?)??b1nrn?1Pn(cos?) ?n?????cn2nrPn(cos?) ?n (3.62)

根据(3.55)、(3.56)式，可得

???ERP(cos?)?b1P(cos?)?cRnP?01?n?nRn?1n?nn(cos?)n???EP(cos?)?1?n?1?01?(n?1)bnnRn?2Pn(cos?)???cnRPn(cos?)0n 比较

Pn(cos?)的系数，得

?E0R?b1R2?c?1R???E2b? n?1 1?0?3?c1?R?0?? (3.64)

bnRn?1?cn?nR???(n?1)b?? n?1nn?1n?2?ncnR?R?0?? (3.65) 由(3.65)式给出

bn?0 , cn?0. (n?1) (3.66)

由(3.64)式给出

b???01?2?E30R0??c?01??32?E0 0?? (3.67)

由此得到电势为

?????Ercos????031?10?2?RE02cos? (r?R)0??r??????3?0Er?22?0cos? (r?R)0?? (3.68)

相应的球内和球外的电场强度为

(3.63)

?E1????1???01????1???3???er?e????Ercos??REcos?002??rr??2???r???0???0??2?3?E0(coser?sin?e?)?RE0cos?3er2?0??r????????02?0??RE0sin?31?e?3r (3.69)

其中

???(cos?er?sin?e?)?ez (3.70)

第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为

?????03p?4??0RE02?0?? (3.71)

因此，球外区域的电场为 ???E1?E0?E? (3.72)

而

????1?3(p?r)rp?E???3?54??0?rr?? (3.73) 同理得到 ?E2????23?01??????????er?e????E0rcos??r????r??2?0?????3?02?0??3?02?0??3?02?0????E0(cos?er?sin?e?)?E0ez?E0???? (3.74)

由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场化电荷造成的。

在球内总电场作用下，介质球的极化强度为 ???????0P?xe?0E2?(???0)E2?3?0E02?0?? (3.75)

介质球的总电偶极矩为

???4???033p??RP?4??0RE032?0?? (3.76)

?E0为弱，这是极

第三章

1. 试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B0，写出A的两种不同表示式，证明二者之差为无旋场。 解：B0是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 B0?B0ez，由矢势定义??A?B得

?Az/?y??Ay/?z?0；?Ax/?z??Az/?x?0；?Ay/?x??Ax/?y?B0

三个方程组成的方程组有无数多解，如：