电动力学复习题库02(4)

六、电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度．（共

10分）

解：由高斯定理

??Q2 E?r?a时，?E?ds?4?rE?Q4??0r2?0 （2分）

?写成矢量式得 E??Qr4??0r3 （1分）

r?a时，球面所围电荷为

43?r??343?r3Q43?3Qra33 （1分）

?a??3???QrQr2E?ds?4?rE? E? （2分） 33?0a4??0ar?a时，?r?0 ??????E?Q4??0?rr3?0 （r?0） （2分）

???rr3?0 （2分）

7. 有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球，介质的电容率为?，使介质球内均匀带静止自由电荷?f，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。 解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。

由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。

当r?r1时，D1?0， E1?0。

当r1?r?r2时， 4?rD2??D2?(r?r1)?f3r233243?(r?r1)?f (r?r1)?f3?r23333 ， E2?33 ，

向量式为 E2?(r?r1)?f3?r23r

33当r?r2时， 4?rD3??D3?(r2?r1)?f3r23343?(r2?r1)?f

(r2?r1)?f3?0r233 E3?33

向量式为 E3?(r2?r1)?f3?0r3r

（2）当r1?r?r2时，

?p????P????(D2??0E2)????(D2???(1??0?D2)

?0?当r?r1时，

)??D2??(1??0?)?f

?p??n?(P2?P1)??n?(D2??0?D2)??(1??0?)D2r?r1?0

当r?r2时， ?p?n?P2?(1??0?)D2r?r2?(1??0r2?r1?)3r2233?f

8. 内外半径分别为r1和r2的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流Jf，导体的磁导率为

?，求磁感应强度和磁化电流。

解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称

性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。 当 r?r1 时，由安培环路定理得：H1?0,B1?0

当 r1?r?r2 时，由环路定理得：2?rH所以 H2?Jf(r?r1)2r22?Jf?(r?r1)

222222 ， B2?2?(r?r1)2r22Jf ?r

向量式为 B2??(r?r1)2r322???Jfe2?(r?r1)2r22Jf当 r?r2 时，2?rH所以 H3?2r?Jf?(r2?r1)

Jf(r2?r1)2 ， B3?2?0(r2?r1)2r22Jf J?r

???Jfe2r（2）当 r1?r?r2 时，磁化强度为

向量式为 B3??0(r2?r1)?0(r2?r1)2r2222fM?(??0?1)H2?(??0?1)(r?r1)2r22Jf?r

所以 JM???M???[(??0?1)H2]?(??0?1)??H2?(??0?1)Jf

在 r?r1 处，磁化面电流密度为 ?M?12?r1?M1?dl?0

在 r?r2 处，磁化面电流密度为 ?M?0?2?r2?M??dl??(2??02r22?1)2(r2?r1)2r2222Jf

向量式为 αM??(?0?1)(r2?r1)Jf

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度?p总是等于体自由电荷密度?f的?(1??0/?)倍。 证明：在均匀介质中 P?(?/?0?1)?0E?(???0)E

所以 ?p????P??(???0)??E??(???0)(1/?)??D

??[(???0)/?]?f??(1??0/?)?f

11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为?1和?2，今在两板接上电动势为E

的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度?（2）介质分界面上的自由电荷面密度?定时，上述两物体的结果如何？)

f3f1和?f2；

。(若介质是漏电的，电导率分别为?1和?2 当电流达到恒

解：忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为E1和

E2，电位移分别设为D1和D2，其方向均由正极板指向负极板。当介质不漏电时，介质内没有自

由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为

?f3?0

取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：

D1??f1 同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

D2???f2 在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：

D1?D2 所以有 E1?由于????E ?所以 ??f1?1 ， E2??f1??l1f1?2f1

(f1l1?l2)

?E?dl??1l1??2l2???1?2f1???f2? E (?1?l2?2)

当介质漏电时，重复上述步骤，可得：

D1??f1， D2???f2， D2?D1???f3

?f3???f1??f2

f1介质1中电流密度 J1??1E1??1D1/?1??1?由于电流恒定，J1?J2，

?/?1

f1介质2中电流密度 J2??2E2??2D2/?2??2(??1?/?1??2(???)/?2

??f3)/?2

f1f1f3??f3??2?1?2?1(??2?2)?f1?(?2?1?2?1?1)?f1

再由 E ?E ???E?dll1??E1l1?E2l2?得?

f1??f1?2?1??1?2?2?1??f1?1(l1??1?2l2)

?f1??1l1??1l2/?2??)??f3E ??2?1?2l1??1l2E?E??f2??(??1?2?2l1??1l2f1?f3??1?2??2?1?2l1??1l2E

12.证明：

（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足

tan?2??2

tan?1?1其中?1和?2分别为两种介质的介电常数，?1和?2分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足

tan?2??2

tan?1?1

其中?1和?2分别为两种介质的电导率。 证明：（1）由E的切向分量连续，得

E1sin?1?E2sin?2 （1）

交界面处无自由电荷，所以D的法向分量连续，即

D1cos?1?D2cos?2

?1E1cos?1??2E2cos?2 （2）

（1）、（2）式相除，得

tan?2??2

tan?1?1（2）当两种电介质内流有恒定电流时

J1??1E1,J2??2E2

由J的法向分量连续，得

?1E1cos?1??2E2cos?2 （3）

（1）、（3）式相除，即得

tan?2??2

tan?1?113.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表

面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。 证明：（1）设导体外表面处电场强度为E，其方向与法线之间夹角为?，则其切向分量为Esin?。在

静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上E的切向分量连续，所以

Esin??0

因此 ??0

即E只有法向分量，电场线与导体表面垂直。

（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为?，则电流密度J??E与导体表面夹角也是?。导体外的电流密度J??0，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以

?Esin??0

因此 ??0

即J只有切向分量，从而E只有切向分量，电场线与导体表面平行。

19. 同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质(如图所示)。导线载有电流

?(1) 忽略导线的电阻，计算介质中的能流S；

I，两导线间的电压为U。

(2) 若内导线的电导率为σ，计算通过内导线表面进入导线内的能流，证明它等于导线的损耗功率。

解：(1)以距对称轴为r的半径作一圆周(a

I因而 H??2?r

导线表面上一般带有电荷，设内导线单位长度的电荷(电荷线密度)为τ，应用高斯定理由对称性，可得

，因而

能流密度为