三个正数的算术-几何平均不等式课时提升作业 三 1.1.3(2)

因为a,b,c同号,且a+b+c=1, 所以a>0,b>0,c>0, 所以,,,,,均大于0, 又a,b,c互不相等, 所以3++++++ >3+6

所以++>9.

【补偿训练】设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2

.

=9.

【证明】因为a,b,c为正实数,由平均不等式可得++≥3即++≥

,

+abc, =2.

,

所以+++abc≥而

+abc≥2

所以+++abc≥2

当且仅当a=b=c时取等号.

6.有一块边长为36cm的正三角形铁皮,从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器,要使这个容器的容积最大,剪下的三个四边形面积之和等于多少?最大容积是多少?

【解析】剪下的三个全等的四边形如图所示,设A1F1=xcm,则AF1=

xcm,

所以A1B1=F1F2=36-2所以V=(36-2=

(6

-x)(6

x.

x)2·x -x)·2x.

-x>0.

,

因为0

,所以6

-x)+(6-x)+2x=12

所以当6即x=2

-x=2x, 时,V有最大值,

·(4

)3=864(cm3). =x·

x=

x2=12

(cm2), cm2.

这时V最大=因为

所以此时三个四边形面积之和等于36