三个正数的算术-几何平均不等式课时提升作业 三 1.1.3

课时提升作业 三

三个正数的算术-几何平均不等式

一、选择题(每小题6分,共18分) 1.函数y=x2·(1-5x)A.

B.

C.

的最大值为 ( ) D.

【解析】选A.因为0≤x≤, 所以1-5x≥0, 所以y=x2·(1-5x)=

=

.

≤

当且仅当x=1-5x,即x=时取“=”.

2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则++的最小值为 ( ) A.9 B.12 C.6-2

D.6+4

【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以++=(a+2b+c)=4++++++≥4+2所以++的最小值是6+4

+2+2.

=6+4

,当且仅当a=c=

b时等号成立.

3.(2016·商丘高二检测)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2值为 ( ) A.C.2

-1 B.+2 D.2

+1 -2

,则2a+b+c的最小

【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2

即(a+b)(a+c)=4-2所以(a+b)(a+c)≤所以2a+b+c≥2

,又a,b,c>0

=

-2.

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,则++的最小值为________. 【解析】因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1, 所以++=(a+2b+3c)·

≥3

·3

=9,当且仅

当a=2b=3c=时取等号.因此++的最小值为9. 答案:9

5.(2016·唐山高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为________.

【解析】因为x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6, 所以6=x+3y+4z=++y+y+y+4z ≥6·

,

所以x2y3z≤1. 答案:1

三、解答题(每小题10分,共30分) 6.若a,b,c>0, 求证:a2+b2+c2+

【证明】因为a,b,c>0, 所以a2+b2+c2≥3·又++≥3·

, ① ≥6

.

所以a2+b2+c2+≥3·≥2·

≥9·

+9·=6

②

,当且仅当a=b=c时等号成立.

+

的最小

7.(2016·哈尔滨高二检测)设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求值.

【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1, 所以

+

==

,

+

=1+

+

≥1+2

=7,

当且仅当

即x+y=,y+z=时,取等号. 所以

+

的最小值为7.

的最小值,并求出取最小值时a,b,c

8.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的值.

【解析】由平均不等式,得4a+4b+3

=3

≥

(当且仅当a=b=c2时等号成立).

因为a+b+c=1, 所以a+b=1-c, 则a+b+c2=c2-c+1=

+,

当c=时,a+b+c2取得最小值. 从而当a=b=,c=时,4a+4b+

取最小值,最小值为3

.

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2016·温州高二检测)若logxy=-2,则x+y的最小值是 ( ) A.

B.

C.

D.

【解析】选A.因为logxy=-2, 所以x>0且x≠1,y>0,且y=x-2, 所以x+y=++≥3当且仅当=,即x=

=

,

时等号成立.

2.如果圆柱的轴截面周长l为定值,那么圆柱的体积最大值是 ( )

【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h, 则l=4r+2h,即2r+h=V=πr2h≤当且仅当r=h=

π=

,

π.

时等号成立.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.已知00, 则x2(1-2x)=x·x(1-2x)≤立.故x2(1-2x)的最大值为. 答案:

【拓展延伸】用平均不等式求最值

==.当且仅当x=1-2x,即x=时等号成

(1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果.

(2)在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力.

(3)“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.

(4)当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出最值.

4.(2016·天津高二检测)已知关于x的不等式2x+成立,则实数a的最小值为________. 【解析】2x+因为x-a>0, 所以2x+

≥3

+2a=3+2a.

,即x=a+1时,取等号. =(x-a)+(x-a)+

+2a

≥7在x∈(a,+∞)上恒

当且仅当x-a=所以2x+

的最小值为3+2a,

由题意可得3+2a≥7,解得a≥2. 答案:2

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=1,求证:++>9. 【证明】++==3++++++,

+

+