实验五 连续系统分析

实验五 连续系统分析

一、实验目的

深刻理解连续时间系统的系统函数在分析连续系统的时域特性、频域特性及稳定性中的重要作用及意义，掌握根据系统函数的零极点设计简单的滤波器的方法。掌握利用MATLAB分析连续系统的时域响应、频响特性和零极点的基本方法。

二、 实验原理

MATLAB提供了许多可用于分析线性时不变连续系统的函数，主要包含有系统函数、系统时域响应、系统频域响应等分析函数。

1. 连续系统的时域响应

连续时间LTI系统可用如下的线性常系数微分方程来描述：

any(n)(t)?an?1y(n?1)(t)???a1y (t)?a0y(t)?bmx(m)(t)?bm?1x(m?1)(t)???b1x (t)?b0x(t)。

已知输入信号x(t)以及系统初始状态y(0?),y'(0?),?,y(n?1)(0?)，就可以求出系统的响应。MATLAB提供了微分方程的数值计算的函数，可以计算上述n阶微分方程描述的连续系统的响应，包括系统的单位冲激响应、单位阶跃响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。 在调用MATLAB函数时，需要利用连续系统对应的系数函数。对微分方程进行Laplace变换即可得系统函数：

Y(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0 H(s)??X(s)ansn?an?1sn?1???a1s?a0

在MATLAB中可使用向量和向量分别保存分母多项式和分子多项式的系数：

a?[an,an?1,?,a1,a0]b?[bm,bm?1,?,b1,b0]

这些系数均按s的降幂直至s0排列。 (1) 连续系统的单位冲激响应h(t)的计算

impulse(sys)计算并画出系统的冲激响应。参数：sys可由函数tf(b,a)获得。其中：

a?[an,an?1,?,a1,a0] b?[bm,bm?1,?,b1,b0]

h=impulse(sys, t): 计算并画出系统在向量t定义的区间上的冲激响应，向量h保存对应区间的系统冲激响应的输出值。

(2) 连续系统的单位阶跃响应g(t)的计算

step(sys): 计算并画出系统的阶跃响应。参数：sys可由函数tf(b,a)获得。其中：

a?[an,an?1,?,a1,a0]b?[bm,bm?1,?,b1,b0]

g=step(sys, t): 计算并画出系统在向量t定义的区间上的阶跃响应，向量g保存对应区间的系统阶跃响应的输出值。

(3) 连续系统的零状态响应y(t)的计算

lsim(sys, x, t) 计算并画出系统的零状态响应。参数: sys可由函数tf(b,a)获得,

x为输入信号，

t为定义的时间向量。

2．连续系统的系统函数零极点分析

连续LTI系统的系统函数H(s)可以表示为部分分式形式：

H(s)?(s?z1)(s?z2)...(s?zm)N(s) ?kD(s)(s?p1)(s?p2)...(s?pn)

设m?n，且H(s)的极点pi全部为单极点，则：

nkiH(s)??h(t)??kiepitu(t)

i?1i?1s?pin

系统函数H(s)的极点pi决定了冲激响应h(t)的基本形式，而零点和极点共同确定了冲激响应h(t)的幅值ki。

MATLAB中提供了roots函数计算系统的零极点，提供了pzmap函数绘制连续系统的零极点分布图。

3．连续系统的频率响应

若连续因果LTI连续系统的系统函数H(s)的极点全部位于S左半平面，则系统的频率响应可由H(s)求出，即

H(j?)?H(s)s?j??H(j?)ej?(?)

MATLAB中freqs函数可以分析连续系统的频响，格式如下：

H=freqs(b,a,w): 计算系统在指定频率点向量w上的频响H；w为频率点向量。 [H,w]=freqs(b,a) : 自动选取200个频率点计算频率响应。

三．实验内容

1. 已知描述连续系统的微分方程为

dy(t)?10y(t)?2x(t)，输入x(t)?u(t)，初始状态dty(0?)?1，计算该系统的响应，并与理论结果比较，列出系统响应分析的步骤。

实验代码： a=[1 10]; b=[2];

[A B C D]=tf2ss(b,a); sys=ss(A,B,C,D); t=0:0.001:5; xt=t>0; sta=[1];

y=lsim(sys,xt,t,sta); subplot(3,1,1);

plot(t,y); xlabel('t');

title('系统完全响应y(t)'); subplot(3,1,2); plot(t,y,'-b'); hold on

yt=4/5*exp(-10*t)+1/5; plot(t,yt,':r');

legend('数值计算','理论计算'); hold off xlabel('t'); subplot(3,1,3); k=y'-yt; plot(t,k); k(1)

title('误差');

实验结果：

结果分析：

理论值y(t)=0.8*exp(-10t)*u(t)+0.2。程序运行出的结果与理论预期结果相差较大误差随时间增大而变小，初始值相差最大，终值基本相同。

2. 已知连续时间系统的系统函数为H(s)?4s?1，求输入x(t)分别为u(t)，32s?3s?2ssintu(t)，e?tu(t)时，系统地输出y(t)，并与理论结果比较。

实验代码： a=[1,3,2,0]; b=[4,1]; sys=tf(b,a); t=0:0.001:5; x1=t>0;

x2=(sin(t)).*(t>0); x3=(exp(-t)).*(t>0); y1=lsim(sys,x1,t); y2=lsim(sys,x2,t); y3=lsim(sys,x3,t); subplot(3,1,1); plot(t,y1); xlabel('t');

title('X(t)=u(t)'); subplot(3,1,2); plot(t,y2); xlabel('t');

title('X(t)=sint*u(t)'); subplot(3,1,3); plot(t,y3); xlabel('t');

title('X(t)=exp(-t)u(t)');

实验结果：

结论分析： 理论值：

y1（t）=5/4+0.5*t*u(t)+7/4*exp(-2*t) *u(t)-3*exp(-t) *u(t);

y2（t）=0.5+1.5*exp(-t) *u(t)-0.7*exp(-2*t) *u(t)-1.3*cos(t) *u(t)+0.1*sin(t) *u(t) y3（t）=0.5-4*exp(-t) *u(t)+7/2*exp(-2*t) *u(t)+3*t.*exp(-t) *u(t); 误差计算：

可见误差小于0.001，计算值与理论值几乎重合。

3. 研究具有以下零极点的连续系统： (a) 1个极点s=—0.1，增益k=1。 (b) 1个极点s=0，增益k=1。

(c) 2个共轭极点s??j5，增益k=1。 (d) 2个共轭极点s??0.5?j5，增益k=1。

(e) 零点在s?0.5，极点在s??0.1?j5，增益k=1。 (e) 零点在s?0.5，极点在s?0.1?j5，增益k=1。

完成下列任务：

(1) 利用zpk和tf命令建立系统的系统函数，画出系统的零极点图。 (2) 分析系统是否稳定。若稳定，画出系统的幅频特性曲线。 (3) 画出系统的冲激响应波形。

(4) 详细列出根据零极点分析系统特性的过程。

结果分析

(a)~(e)均为因果稳定系统，他们的极点都在jw轴左侧。当且仅当H（s）的全部极点都位于s平面的左半平面时，一个具有有理系统函数H（s）的因果系统才是稳定的。

4. 根据连续系统零极点对系统幅频特性的影响设计下面系统。在S平面上配置零极点，并使用freqs命令绘出相应的扶贫特性曲线，重复该过程直至找到满足下面指标的零极点。 (1) 设计一个具有2个零点，2个极点，实系数的高通滤波器，满足

H(j0)?0；0.8?H(j?)?1.2,??100?。

(2) 设计一个具有实系数的低通滤波器，满足

0.8?H(j?)?1.2,H(j?)?0.1,

???；

??10?。