数值分析第07次作业

实验七 直接解线性方程组的数值实验

实验1：

题目：用列主元Gauss消元法求解以下方程组：

?0.7290.810.9??x1??0.6867???????111x?0.83382???????1.3311.211.1??x??1.000????3???

编程及结果：

编程：

fprintf('增广矩阵A')

A=[0.729 0.81 0.9 0.6867;1 1 1 0.8338;1.331 1.21 1.1 1.000] tempo=A(3,:);A(3,:)=A(1,:);A(1,:)=tempo; fprintf('第一次选主元后的矩阵') A

A(2,:)=A(2,:)-A(1,:)*A(2,1)/A(1,1); A(3,:)=A(3,:)-A(1,:)*A(3,1)/A(1,1); fprintf('第一次消元后的矩阵') A

tempo=A(3,:);A(3,:)=A(2,:);A(2,:)=tempo; fprintf('第二次选主元后的矩阵') A

A(3,:)=A(3,:)-A(2,:)*A(3,2)/A(2,2); fprintf('第二次消元后的矩阵') A

%回代求解方程组 x(3)=A(3,4)/A(3,3);

x(2)=(A(2,4)-A(2,3)*x(3))/A(2,2);

x(1)=(A(1,4)-A(1,3)*x(3)-A(1,2)*x(2))/A(1,1); x

结果： 增广矩阵A A =

Columns 1 through 2

0.7290 0.8100 1.0000 1.0000 1.3310 1.2100

Columns 3 through 4

0.9000 0.6867 1.0000 0.8338 1.1000 1.0000

第一次选主元后的矩阵 A =

Columns 1 through 2

1.3310 1.2100 1.0000 1.0000 0.7290 0.8100

Columns 3 through 4

1.1000 1.0000 1.0000 0.8338 0.9000 0.6867

第一次消元后的矩阵 A =

Columns 1 through 2

1.3310 1.2100 0 0.0909 0 0.1473

Columns 3 through 4

1.1000 1.0000 0.1736 0.0825 0.2975 0.1390

第二次选主元后的矩阵 A =

Columns 1 through 2

1.3310 1.2100 0 0.1473 0 0.0909

Columns 3 through 4

1.1000 1.0000 0.2975 0.1390 0.1736 0.0825

第二次消元后的矩阵 A =

Columns 1 through 2

1.3310 1.2100 0 0.1473 0 0

Columns 3 through 4

1.1000 1.0000 0.2975 0.1390 -0.0101 -0.0033 x =

Columns 1 through 2

0.2245 0.2814

Column 3

0.3279

实验2：

题目：写用追赶法解三对角方程组的程序，并解下列方程组：

?2x1?x2?5??x?2x?x??12?123 ???x2?2x3?x4?11???x3?2x4??1

编程及结果：

编程：

A=[2,-1,0,0;-1,2,-1,0;0,-1,2,-1;0,0,-1,2]; b=[5,-12,11,-1]';

[l,u,p]=lu(A);%对矩阵A进行LU分解,l单位下三角，u上三角，p是置换矩阵 %l,u

y(1)=b(1);

y(2)=b(2)-l(2,1)*y(1);

y(3)=b(3)-l(3,1)*y(1)-l(3,2)*y(2);

y(4)=b(4)-l(4,1)*y(1)-l(4,2)*y(2)-l(4,3)*y(3); x(4)=y(4)/u(4,4);

x(3)=(y(3)-u(3,4)*x(4))/u(3,3);

x(2)=(y(2)-u(2,4)*x(4)-u(2,3)*x(3))/u(2,2);

x(1)=(y(1)-u(1,4)*x(4)-u(1,3)*x(3)-u(1,2)*x(2))/u(1,1); x

结果： x =

1.0000 -3.0000 5.0000 2.0000

实验3：

题目：用LU分解及列主元高斯消去法解线性方程组

?701??x1??8?10????x????32.099999625.900001??2???? ??5??15?1??x3??5??????x21021???4???输出Ax?b中系数A?LU分解的矩阵L和U，解向量x及det(A)；列主元法的行交换次序，解向量x及det(A)；比较两种方法所得的结果。

编程及结果：

1)LU分解

clc clear

A=[10 -7 0 1

-3 2.099999 6 2 5 -1 5 -1 2 1 0 2 ];

b=[8 5.900001 5 1];

[l,u,p]=lu(A);%对矩阵A进行LU分解,l单位下三角，u上三角，p是置换矩阵 l,u

y(1)=b(1);

y(2)=b(2)-l(2,1)*y(1);

y(3)=b(3)-l(3,1)*y(1)-l(3,2)*y(2);

y(4)=b(4)-l(4,1)*y(1)-l(4,2)*y(2)-l(4,3)*y(3); x(4)=y(4)/u(4,4);

x(3)=(y(3)-u(3,4)*x(4))/u(3,3);

x(2)=(y(2)-u(2,4)*x(4)-u(2,3)*x(3))/u(2,2);

x(1)=(y(1)-u(1,4)*x(4)-u(1,3)*x(3)-u(1,2)*x(2))/u(1,1); x

t=det(A) 结果： l =

1.0000 0 0 0 0.5000 1.0000 0 0 -0.3000 -0.0000 1.0000 0 0.2000 0.9600 -0.8000 1.0000 u =

10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 0 0 6.0000 2.3000 0 0 0 5.0800

x = 0.1949 -0.7661 0.9695 0.6882 t =

-762.0001

2）列主元高斯消去法 clear clc

A=[10 -7 0 1 ; -3 2.099999 6 2 ; 5 -1 5 -1 ; b=[8 5.900001 5 1]; n=length(b); X=zeros(n,1); c=zeros(1,n); d1=0; t=det(A)

2 1 0 2 ];