福建省2012届高三质量检查试题数学理（word版）(3)

（2）当k??122时，又由（ⅰ）知，k?kOC??，从而kOC?，

222同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

2． 82．???????13分 8 综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)．

?????????????由OA?OB?OC?0得：x1?x2?x3?0，y1?y2?y3?0．?????????5分

（ⅰ）因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在椭圆上，所以有：x12?2y12?2，x22?2y22?2， 两式相减，得(x1?x2)(x1?x2)?2(y1?y2)(y1?y2)?0， 从而有

y1?y2y1?y21???．

x1?x2x1?x22y3， x3又y1?y2??y3，kOC?所以kAB?kOC??1，即直线AB与OC的斜率之积为定值．????????????8分 2（ⅱ）同解法一．

20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运

算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.

解:(Ⅰ)g?x??cosx?3sinxcosx?211?cos2x31??sin2x? ???????2分 222213????cos2x?sin2x?sin?2x????????????3分 226???h?x??sinx,??????????4分 f?x??msinx?1.??????????5分

(Ⅱ)方程f(x)?x有且只有一个实根. ??????????6分 理由如下：

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由(Ⅰ)知f?x??msinx?1，令F?x??f?x??x?msinx?x?1, 因为F?0??1?0,又因为0?m?1?3????,所以F???m??1???0. 2222?2?所以F?x??0在?0,又因为F'?????至少有一个根. ??????????7分 2?1?0, 2?x??mcosx?1?m?1??所以函数F?x?在R上单调递减,

所以函数F?x?在R上有且只有一个零点，

即方程f?x??x有且只有一个实根. ??????????9分 (Ⅲ)因为a1?0,an?1?f?an??msinan?1,所以a2?1?a1,

又 a3?msin1?1，因为0?1??，所以0?sin1?1，所以a3?1?a2．

2由此猜测an?an?1(n?2),即数列?an?是单调递增数列. ??????????11分 以下用数学归纳法证明:n?N,且n?2时,an?an?1?0成立. (1)当n?2时,a2?1,a1?0,显然有a2?a1?0成立.

(2)假设n?k(k?2)时,命题成立，即ak?ak?1?0(k?2)．??????????12分 则n?k?1时,ak?1?f?ak??msinak?1，

11?，所以ak?f?ak?1??msinak?1?1?m?1??1?． 222?上单调递增，0?a?a??，

又sinx在0,k?1k22因为0?m???所以sinak?sinak?1?0，所以msinak?1?msinak?1?1， 即sinak?1?msinak?1?1?f(ak?1)?ak?0， 即n?k?1时,命题成立. ??????????13分 综合(1) ,(2)，n?N,且n?2时, an?an?1成立. 故数列?an?为单调递增数列. ??????????14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

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本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分． 解：（Ⅰ）因为???1?0m??1??1?m?????， ???????1???1???1?所以???1?m??0???，即m=1．????????????????3分 ???????1???1??11??1?1?，所以M??1??0??1??．?????????????4分 1??1（Ⅱ）因为M???0?设曲线y2?x?y?0上任意一点(x,y)在矩阵M由?所对应的线性变换作用下的像是(x?,y?).

?x???1?1??x??x?y?， ?????????????????5分 ??????????y???01??y??y??x?y?x?,?x?x??y?,所以?得?代入曲线y2?x?y?0得y?2?x?．?????????6分

?y?y??y?y?由(x,y)的任意性可知, 曲线y2?x?y?0在矩阵M?1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2?x. ??????7分

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．

４2,解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(?4)得点M的直角坐标为(４,4)，

所以直线OM的直角坐标方程为y?x．????????????????3分

??x?1?2cos?,(?为参数）（Ⅱ）由曲线C的参数方程?

??y?2sin?化为普通方程为(x?1)2?y2?2，???????????5分 圆心为A(1,0),，半径为r?2．

由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA?r?5?2．????7分 （3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．

解：（Ⅰ）由2a?b?9得9?b?2a，即|6?b|?2|a|． 所以9?b?a?3可化为3a?3，即a?1，解得?1?a?1． 所以a的取值范围?1?a?1．????????????????4分

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（Ⅱ）因为a,b?0，

2所以z?ab?a?a?b?(a?a?b32a?b3)?()?33?27，?????????????6分 33当且仅当a?b?3时，等号成立．

故z的最大值为27．????????????????7分

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