2011昌平高三二模数学（文科）(2)

又四边形ABCD是正方形?AC?BD,

BD?BF?B

?AC?平面BDF ??13分

18. (本小题满分14分)

解：（I） ?f'(x)?x2?2(a?1)x?4a .......3分

?f'(3)?9?6(a?1)?4a?0 得 a? ?f(3)?3 ......4分 21 解得： b??4 ???5分 2（II）?f'(x)?x2?2(a?1)x?4a?(x?2a)(x?2)

令f'(x)?0,即x?2a或x?2 ?..7分 当a?1时，x?2a,x?2，即f(x)的单调递增区间为(??,2)和（2a,??)?.8分 当a?1时，f'(x)?(x?2)2?0，即f(x)的单调递增区间为(??,??)?.9分 当a?1时，x?2a,x?2，即f(x)的单调递增区间为(??,2a)和（2,??)?..10分

?a?1（Ⅲ）由题意可得：?'??12分 'f(?1)?f(1)?0??(2a?1)(2a?1)?0 ? ?a的取值范围(?11?a? 22 ??14分

11,) 22

19（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可知：c?1，a?b?c，e?解得：a?222c2? ??2分 a22,b?1 ??3分

x2?y2?1 ??4分 故椭圆的方程为：2（II）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0)， ??5分

?y?k(x?1)?2?x联立，得??y2?1,整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0 。。。。。。7分

?2?直线AB过椭圆的左焦点F ?方程有两个不等实根. ?.?8分

记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0)

x1?x2y1?y2?4k2x?,y?则x1?x2? ?..9分 ?..10分 00221?2k2垂直平分线NG的方程为y?y0??1(x?x0)， ?..11分 k2k2k2k211?2??2???2令y?0,得xG?x0?ky0??2?..12分

24k?22k?12k?12k?11?xG?0 ?? 13分 21?点G横坐标的取值范围为（?，0） ?.14分

2?k?0,??

20.(本小题满份13分)

解：（I）∵函数f(x)在定义域内有且只有一个零点

???a2?4a?0得a?0或a?4 ??1分

当a=0时，函数f(x)?x2在(0,??)上递增 故不存在0?x1?x2， 使得不等式f(x1)?f(x2)成立 ?? 2分 综上，得a?4,f(x)?x2?4x?4 ??.3分

?Sn?n2?4n?4

n?1?1, ?an?Sn?Sn?1???2n?5,n?2????4分

n?1??3,?（II）解法一：由题设cn?? 41?,n?2??2n?5

?n?3时，cn?1?cn?448???0 2n?52n?3(2n?5)(2n?3)?n?3时，数列?cn?递增 ?c4???0

13由1?4?0得n?5 可知a4?a5?0

2n?5即n?3时，有且只有1个变号数； 又?c1??3,c2?5,c3??3 即c1?c2?0,c2?c3?0 ∴此处变号数有2个

综上得数列?cn?共有3个变号数，即变号数为3 ??9分

n?1??3?解法二：由题设cn?? 41?n?2??2n?5当n?2时，令cn?cn?1?0得2n?92n?7??0 2n?52n?33579即?n?或?n?2222 解得n?2或n?4又?c1??3,c2?5?n?1时也有c1?c2?0 综上得数列?cn?共有3个变号数，即变号数为3

*（Ⅲ）n?2且n?N 时，Tn? ????9分

1 2n?17m1111 ?(1?)(1?)...(1?)?30572n?12n?3可转化为

7m68102n2n?21． ???...??305792n?12n?12n?3设g(n)?68102n2n?21??...??， 5792n?12n?12n?368102n?22n?41??...??g(n?1)5792n?12n?32n?5*?则当n?2且n?N，

68102n?21g(n)??...?5792n?12n?3

?2n?42n?32n?4 ??2n?32n?5(2n?3)(2n?5)?2n?44n2?16n?15?2n?44n2?16n?16?2n?4(2n?4)2?2n?4?1.

2n?4所以g(n?1)?g(n)，即当n增大时，g(n)也增大．

要使不等式

7m1*对于任意的n?N恒成立，只需 ?(1?T2)(1?T3)...(1?Tn)?302n?37m16767， ?g(n)min即可．因为g(n)min?g(2)????3057357所以

18017m67?5 . 即 m??3573035所以，正整数m的最大值为5． ?????13分