工程流体力学 - - 习题及答案讲诉(3)

r?80cm，z?60?60?120cm

代入上式

?2?2gz2?9.81?1.2?2??36.79sr20.82

故 ??36.79?6.065rad/s

【2.16】在半径为a的空心球形容器内充满密度为ρ的液体。当这个容器以匀角速

ω绕垂直轴旋转时，试求球壁上最大压强点的位置。 解：建立坐标系如图，由于球体的轴对称，故仅考虑yOz平面 zωaOxMθy

球壁上流体任一点M的质量力为

fy??2y；fz??g

因此

dp??(?2ydy?gdz)

习题2.16图两边积分得

p??(?2y22?gz)?C

在球形容器壁上y?asin?；z?acos?

代入上式，得壁上任一点的压强为

p??(?2a2sin2?2?agcos?)?C

dp??(?2a2sin?cos??agsin?)?0 使压强有极值，则d?

即

cos???gga?2

由于

a?2?0g故??90?即最大压强点在球中心的下方。

讨论：当a?

2?1g或者?2?ag时，最大压强点在球中心以下?的

2 位置上。

g2当a??1g2或者??a时，最大压强点在

??180?，即球形

容器的最低点。

【2.17】如图所示，底面积为b?b?0.2m?0.2m的方口容器，自重G=40N，静止

时装水高度h=0.15m，设容器在荷重W=200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦因数f=0.3，试求保证水不能溢出的容器最小高度。

zaHxhO 习题2.17图解：先求容器的加速度

设绳子的张力为T

则

W?T?Wga

?(G??b2h)f?G??b2

Thga

故解得 a?W?f(G??b2h)?b2h?G?Wg

代入数据得 a?5.589 8m/s2

在容器中建立坐标如图。（原点在水面的中心点）质量力为

fx??a

fz??g

由 dp??(?adx?gdz) 两边积分

p???ax??gz?C

当 x?0,z?0处

p?0 故 C?0

TW

（a）

（b）

自由液面方程为

z??axg

（c）

bx??,z?H?h2且 当满足方程

代入（c）式 得

H?h?ab5.589 8?0.2?0.15??0.207m2g2?9.81

【2.18】如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R=2m，容器内充满水，顶盖

上距中心为r0处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r0为多少时，顶盖所受的水的总压力为零。

z解：如图坐标系下，当容器在作等角速度旋转时，容

?r0器内流体的压强分布为

r2?2rOp??(R2g?z)?C

当r?r0,z?0时，按题意p?0

习题2.18图故

C????2r022g

??222?p???(r?r0)?z?p分布为?2g?

在顶盖的下表面，由于z?0，压强为

p?

1??2(r2?r02)2

要使顶盖所受水的总压力为零

?R0p2?rdr

R12???2???r2?r02?rdr?00 2

即

?R0rdr?r3R200?rdr?0

2R42R?r0?042 积分上式

解得

r0?R2??2m22

【2.19】 矩形闸门AB宽为1.0m，左侧油深h1=1m ，水深h2=2m，油的比重为

0.795，闸门倾角α=60o，试求闸门上的液体总压力及作用点的位置。 解：设油，水在闸门AB上的分界点为E，则油和水在闸门上静压力分布如图所示。现将压力图F分解成三部分F1，F2，F3，而F?F1?F2?F3，

其中

AE?h11??1.155msin?sin?60 h22??2.31msin?sin60?

油1EB?pE??h?0.795?9 810?1?7 799Pa

水

pB?pE??h2?7 799?9 810?2?27 419Pa

F1?11pEAE?I??7 799?1.155?4 504N22

F2?pEEB?I?7 799?2.31?18 016N

11F3?(pB?pE)EB?I??(27 419?7 799)?2.31?22 661N22

故总压力F?F1?F2?F3?4 504?18 016?22 661?45.18kN

设总压力F作用在闸门AB上的作用点为D，实质是求水压力图的形状中心离开A点的距离。

由合力矩定理，

F?AD?F1212AE?F2(EB?AE)?F3(EB?AE)323

2124 504??1.155?18 016?(?2.31?1.155)?22 661?(?2.31?1.155)323AD?45 180故

?2.35m

或者 hD?ADsina?2.35?sin60??2.035m

O'FpE1F2BDAEpAF1F2BAh1水h2油FF3pBhHFpBOay习题2.19图

习题2.20图

【2.20】一平板闸门，高H=1m，支撑点O距地面的高度a=0.4m，问当左侧水深h增至多

大时，闸门才会绕O点自动打开。

解：当水深h增加时，作用在平板闸门上静水压力作用点D也在提高，当该作用点在转轴中心O处上方时，才能使闸门打开。本题就是求当水深h为多大，水压力作用点恰好位于O点处。 本题采用两种方法求解 （1）解析法：

由公式

yD?yc?IcycA

其中 yD?yO?h?a

Ic?11bH3??1?H31212

A?bH?1?H?H

yc?h?H2

13HH12h?a?(h?)?H2(h?)H2代入

13?1h?0.4?(h?0.5)?12(h?0.5)?1 或者