线性代数第三章练习册答案(2)

要条件是向量组?1??1，?2??1??2,?,?r??1??2????r线性无关。 2. 证明：如果n维单位坐标向量组?1,?2,?,?n可以由n维向量组?1,?2,?,?n线性表示，则向量组?1,?2,?,?n线性无关。

证明：因为n维单位坐标向量组?1,?2,?,?n可以由n维向量组?1,?2,?,?n线性表示，所以R(?1,?2,??n)?R(?1,?2,??n)，又因为?1,?2,?,?n线性无关，所以

R(?1,?2,??n)?n，故R(?1,?2,??n)?n，所以?1,?2,?,?n线性无关。 3. 设?1?(1,?1,1,?1)T,?2?(3,1,1,3)T,b1?(2,0,1,1)T,b2?(3,?1,2,0)T,b3?(1,1,0,2)T，证明向量组?1,?2与向量组b1,b2,b3等价。。

?1???1证明：因为??1,?2,b1,b2,b3?=?1???1?3113230?112101??13??1??02??000?????002??210031001??1? 0??0??故而R(?1,?2)=R(b1,b2,b3)=R(?1,?2,b1,b2,b3)?2，因此向量组?1,?2与向量组

b1,b2,b3等价。

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