线性代数第三章练习册答案

线性代数第三章综合自测题

一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面

横线上。本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组α1,α2,?,αm线性表示，则（ D ）。

（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm （B）对β的线性表示惟一

（C）向量组β,α1,α2,?,αm线性无关

（D）存在一组数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm 2. 向量组?1,?2,?,?t线性无关的充分条件是（ C ） （A）?1,?2,?,?t均为非零向量；

（B）?1,?2,?,?t的任意两个向量的分量不成比例； （C）?1,?2,?,?t中任意部分向量组线性无关； （D）?1,?2,?,?t中有一个部分向量组线性无关。

3. 若α1,α2,?,αm线性相关，且k1α1?k2α2???kmαm?0，则（ D ）。 （A）k1?k2???km?0 （B）k1,k2,?,km全不为零 （C）k1,k2,?,km不全为零 （D）上述情况都有可能 4. 一个m?n阶矩阵A的秩为m，则下列说法正确的是（ A ）

（A）矩阵A的行向量组一定线性无关； （B）矩阵A的列向量组一定线性无关； （C）矩阵A的行向量组一定线性相关 ； （D）矩阵A的列向量组一定线性相关。 5. 两个n维向量组A：?1,?2,?,?s，B：?1,?2,?,?t，且R(A)?R(B)?r，于是有（ C ）

（A）两向量组等价，也即可以相互线性表出； （B）R(?1,?2,?,?s，?1,?2,?,?t)?r； （C）当向量组A能由B线性表出时，两向量组等价；（D）当s?t时，两向量组等价。 6. 若向量组α,β,γ线性无关，向量组α,β,δ线性相关，则（ C ）。

1

（A）α必能由β,γ,δ线性表示 （B）β必不能由α,γ,δ线性表示 （C）δ必能由α,β,γ线性表示 （D）δ必不能由α,β,γ线性表示 7. 下列命题中正确的是（ D ）

（A）若向量组的秩为r，则该向量组的其中的任意r个向量均线性无关； （B）若向量组中有r+1个向量线性相关，则该向量组的秩一定至多等于r； （C）向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A)?R(B)； （D）可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。 8. 已知n维向量组（Ⅰ）：述命题不正确的是（ A ）。

（A）若m?s，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价

（B）若向量组（Ⅰ）是向量组（Ⅱ）的部分组，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价 （C）若向量组（Ⅰ）能由向量组（Ⅱ）的部分组表示，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价 （D）若

α1,α2,?,αm和（Ⅱ）β,β,?,βs的秩都等于r，那么下

：12R(α1,α2,?,αm,β1,β2,?,βs)?r，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价

9. 设?1?(1,1,1)，?2?(1,2,3)，?3=(1,3,t)，当?1,?2,?3线性无关时，t不等于（ D ）

（A）1 ； （B）2； （C）3； （D）以上都不对 10. 设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（ B ）

（A）当m?n时，AB?0； （B）当m?n时，AB?0； （C）当n?m时，AB?0； （D）当n?m时，AB?0。 二、填空题（本大题共10个空，每个空2分，满分20分）

)，??(4，?2,3,7)，则3???= ?10,1,12,22? ，1. 已知??(2,1,3,54??5?= ??12,14，?3，?15? 。

2.已知

?1?(2,5,1,3)，

?2?(2,1,,2,5)，

?3?(4,1,?1,1)，且

7??52,2，? 。 3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，则?= ??，3??33. 一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组，则各个最大无关组所含向量个数必相等。

2

4. 设?1,?2,?3是3维线性无关的向量组，A为3阶方阵，且A?1??1??2，

A?2??2??3，A?3??1??3，则A= 2 ，R(A)? 3 。

5. 向量组?1=（2，3，-1，5），?2=（6，3，-1，5），?3=（4，1，-1，7）的秩=

3 ，最大无关组为?1,?2,?3。

6. 两个n维向量组A：?1,?2,?,?m，B：?1,?2,?,?m，R(A)?r1，R(B)?r2，

R(A,B)?r3则max(r1,r2)，r1?r2，r3的大小关系是：max(r1,r2)?r3?r1?r2。 7. 若向量??(1,2,t)，可由向量组?1?(2,1,1)，?2?(?1,2,7)，?3?(1,?1,?4)线性表示，则t= 5 。

8. 已知向量组?1?(1,2,?1,1)，?2?(2,0,t,0)，?3?(0,?4,5,?2)的秩为2，则t= t= 3 。

9．已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，若向量组α1?kα2，α2?α3，α3?α4，α4?α1线性相关，则k? 1 。

10. n维向量组α1,α2,?,αm(3?m?n)，而α1,α2,?,αm中任何一个向量都不能用其余向量线性表示，是该向量组线性无关的 充要 条件。

三、 计算题（本大题共3个小题，第1，2小题每题5分，第三小题10分，满分20分） 1．已知?1?(1,?1,0,0)T,?2?(0,1,1,?1)T,?3?(?1,3,2,1)T,?4?(?2,6,4,1)T，讨论向量组?1,?2,?3,?4及向量组?1,?2,?3的线性相关性。

解：令

?10?1?2????1136??A???1,?2,?3,?4???0124????0?111????1??0??0??0?0?1?2??10?1?2????124??0124?， ?000??0035??????035??0000???10?1?2???0124????0124????0?111???故，R(?1,?2,?3,?4)?R(?1,?2,?3)?3，所以?1,?2,?3,?4线性相关，而?1,?2,?3

3

线性无关。 2.

已

知

向

量

组

?1?(0,1,?1)T,?2?(a,2,1)T,?3?(b,1,0)T与向量组

?1?(1,2,?3)T,?2?(3,0,1)T,?3?(9,6,?7)T具有相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表

示，求a,b的值。

9b??139b??13????解：因为??1,?2,?3,?3???2061???0?6?121?2b?

??31?70??0005?b?????故R(?1,?2,?3)?2又因为向量组?1,?2,?3与向量组?1,?2,具有相同的秩，且?3可由

?1,?2,?3线性表示，所以R(?1,?2,?3)?R(?1,?2,?3,?3)?R(?1,?2,?3)?2

故，5?b?0?b?5；

??1??0a5??12??a则??1,?2,?3???121???031?，故5??0?a?15。

?3a???110???005???3??3. 利用初等变换法求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组。（10分）

?2??1（1）?4??3?21??10???1?112??01??121?214??21? 30 （2）

???62?24???25?14??6?979??1?13?1????2?1?11??11?21解：1. 令A=?4?62?2??36?97?

2??11?214????4??01?110???0001?3? 4???????9??00000?故R(A)?3，且?2,1,4,3?，??1,1,?6,6??1,1,?2,7?为最大线性无关组。

TT21??10??01??1230? （2）令A=?21???25?14??1?13?1???

4

21??1?10???02?20???0??01?1?2???0????05?52??0?0?11?2??0???T010001??1???10??00?2???0??02??0?00?2???T2010000???10?01?

?00?00??T2故R(A)?3,且?11221?，?0215?1?，?1104?1?是它的列向量组的最大线性无关组。

四、 证明题（本大题共3个小题，每题10分，满分30分）

1. 证明：向量组?1,?2,?,?r线性无关的充分必要条件是向量组?1??1，

?2??1??2,?,?r??1??2????r线性无关。

证明：不妨假设，?1,?2,?,?r为列向量组，由?1??1，

?2??1??2,?,?r??1??2????r知 ?1?2??rR??1能

由

?1,?2,?,?r线性表示，故

?2??r??R??1?2??r?（1）

?1??0????0?1?1??1?1?（*），令

????0?1??且，

??1?2??r????1?2??r??1??0K?????0?有??1也

即

1?1??1?1??1KK，显然，也即可逆。（*）式两边同时右乘，K?1?0????0?1???2??r?K?1???1?2??r? ?1,?2,?,?r能

由

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