[数学]高考数学易错题解题方法大全(2)

知识改变命运，学习成就未来

当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

【范例15】如图：在三棱锥P?ABC中，PB?面ABC，?ABC是直角三角形，

E、F分别为AC、AB、BC的中点。?ABC?90?，AB?BC?2，?PAB?45?，点D、

⑴求证：EF?PD；

⑵求直线PF与平面PBD所成的角的大小； ⑶求二面角E?PF?B的正切值。

【错解分析】立体几何是高考的必考内容，容易错误的地方通常是求二面角的大小，因此要归纳总结通常寻找二面角的平面角的方法。

解：⑴连结BD。在?ABC中，?ABC?90

?EAPMBFODC?AB?BC，点D为AC的中点，?BD?AC

又?PB?面ABC，即BD为PD在平面ABC内的射影 ?PD?AC

?E、F分别为AB、BC的中点?EF//AC ?EF?PD

⑵?PB?面ABC，?PB?EF

连结BD交EF于点O，?EF?PB,EF?PD， ?EF?平面PBD

??FPO为直线PF与平面PBD所成的角，且EF?PO ?PB?面ABC，?PB?AB,PB?BC，又??PAB?45? ?PB?AB?2，?OF? 12AC?，?PF?PB2?BF2?5 42OF1010?，??FPO?arcsin PF1010?在Rt?FPO中，sin?FPO?⑶过点B作BM?PF于点F，连结EM，?AB?PB,AB?BC，

?AB?面PBC，即BM为EM在平面PBC内的射影

?EM?PF，??EMB为二面角E?PF?B的平面角 ?Rt?PBF中，BM?PB?BF2EB5??，?tan?EMB? PFBM25C1【练习15】如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，是AC的中点。

(1)求证：B1C//平面A1BD；

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(2)求二面角A1?BD?A的大小；

(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值。

练习题参考答案：

1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7. －1 8.

21? 10. 2或?2 11. 12. 413. 2 9. ??xx??1或x??6

?2?

NP?2NQ??解：（1）??Q为PN的中点且GQ⊥PN

GQ?PN?0???GQ为PN的中垂线?|PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a?3，

x2y2??1。 半焦距c?5，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是94 （2）因为OS?OA?OB，所以四边形OASB为平行四边形

若存在l使得|OS|=|AB|，则四边形OASB为矩形?OA?OB?0 ?x?2?x?2?若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由?2 得??xy225?1?y????94?3?

?OA?OB?16?0,与OA?OB?0矛盾，故l的斜率存在. 9设l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?k(x?2)?由?x2y2?(9k2?4)x2?36k2x?36(k2?1)?0

?1??4?936k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2? ① 29k?49k?4

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20k2 ② y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]?k[x1x2?2(x1?x2)?4]??29k?42

把①、②代入x1x2?y1y2?0得k??3 2∴存在直线l:3x?2y?6?0或3x?2y?6?0使得四边形OASB的对角线相等.

14. 解：（1）抛物线方程为：y2=2x.

（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-k2kx-(k+2)x+?0.

422

2

1)，代入y2=2x，得：2设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=

k2?22，y+y=k(x+x-1)=. 1212

kk2?0?x1?x2k2?2x????33k222?设△AOB的重心为G（x，y）则?0?y1?y22，消去k得y2=x?为所求，

y??39?33k?②当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1），△AOB的重心G（，0）也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为y2=x?， （3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=2， 根据圆的性质有：|MN|=2

|MP||MQ||PQ|2?r22?2r?22?1?.

|PQ||PQ|2|PQ|21212132329当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，

222设P点坐标为(x0，y0)，则y0=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y0= x0-4x0+9=(x0-2)2+5， ∴当x0=2，y0=±2时，|PQ|2取最小值5， 故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值

15. 解法一：（1）设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

230. 5?D为AC中点，?PD//B1C.

又?PD?平面A1BD，?B1C//平面A1BD

（2）?正三棱住ABC?A1B1C1，? AA1?底面ABC。

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又?BD?AC?A1D?BD

??A1DA就是二面角A1?BD?A的平面角。 ?AA1=3，AD=??A1DA=

AA1AC=1?tan ?A1DA=1?3 2AD??, 即二面角A1?BD?A的大小是 33（3）由（2）作AM?A1D，M为垂足。

?BD?AC，平面A1ACC1?平面ABC，平面A1ACC1?平面ABC=AC

?BD?平面A1ACC1，?AM?平面A1ACC1，?BD?AM

?A1D?BD = D?AM?平面A1DB，连接MP，则?APM就是直线A1B与平面A1BD

所成的角。

?AA1=3，AD=1，?在Rt?AA1D中，?A1DA=

?， 33AM21317?2?. ，AP?AB1?,?sin?APM??AM?1?sin60??AP722272?直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为

21 7解法二：（1）同解法一（2）如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，3），B（0，3，0），B1（0，3，3）

z，A1D=（-1，0，-3） ?A1B=（-1，3，-3）

设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z） 则n?A1B??x?3y?3z?0 n?A1D??x?3z?0

DA1C1B1C?x??3z则有?，得n=（?3，0，1）

y?0?AxBy由题意，知AA1=（0，0，3）是平面ABD的一个法向量。

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设n与AA1所成角为?，则cos??n?AA1n?AA1??1，???

32?二面角A1?BD?A的大小是

? 3AB1?nAB1n?21 7（3）由已知，得AB1=（-1，3，3），n=（?3，0，1）则cos???直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为

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