北京市海淀区2012届高三数学下学期期中练习试题 理（2012海淀一(2)

………………………………………13分

(16)（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明： 因为AB//CD，CD?平面PAB，AB?平面PAB，

所以CD//平面PAB. ………………………………………2分 因为CD?平面PCD，平面PAB?平面PCD?m，

所以CD//m. ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP^平面ABCD，AB^AD，所以以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则B(4,0,0)，P(0,0,4)，D(0,22,0)，C(2,22,0).

………………………………………5分

????????所以 BD?(?4,22,0)，AC?(2,22,0)， ????AP?(0,0,4)，

????????所以BD?AC?(?4)?2?22?22?0?0?0， ????????BD?AP?(?4)?0?22?0?0?4?0.

所以 BD?AC，BD?AP.

因为 AP?AC?A，AC?平面PAC，

ACDyzPPA?平面PAC，

所以 BD?平面PAC.

（Ⅲ）解：设

Bx………………………………………9分

PQ=?（其中0＃?PB????????所以 PQ=?PB.

，Qxyz1）(,,)，直线QC与平面PAC所成角为?.

所以 (x,y,z-4)=?(4,0,-4).

ìx=4?,???所以 íy=0,即Q(4?,0,-4?+4).

?????z=-4?+4,????所以 CQ=(4?-2,-22,-4?+4). ………………………………………11分

????由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为BD?(?4,22,0).

………………………………………12分

用心 爱心 专心

- 6 -

????????????????CQ×BD因为 sin?=cos=????????，

CQ×BD所以 3?4(4??2)?8. ?22326?(4??2)?8?(?4??4)7?[0,1]. 12PQ7所以 . ………………………………………14分 =PB12解得 ??

(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得：

20?x?0.025?20?0.0065?20?0.003?2?20?1.

所以 x=0.0125. ………………………………………2分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：

0.003?2?20?0.12， ………………………………………4分

因为600?0.12?72，

所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.

………………………………………6分

（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为

431， 42781?3?1?1??3?P(X?0)????, P(X?1)?C4?????,

256?4??4??4?64273?1??3?3?1??3?P(X?2)?C2?P(X?3)?C?,, 4?4???????441284464????????1?1?P(X?4)????.

4256??所以X的分布列为： 4223X P 0 1 2 3 4 81 25627 6427 1283 64………………………………………12分

812727311EX?0??1??2??3??4??1.（或EX?4??1）

1256 25664128642564所以X的数学期望为1. ………………………………………13分

用心 爱心 专心

- 7 -

(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f(x)的定义域为R. f'(x)??ke?kx1(x2?x?)?e?kx(2x?1)?e?kx[?kx2?(2?k)x?2]，

k(kx?2)(x?1)(k?0). ………………………………………2分

即 f'(x)??e?kx令f'(x)?0，解得：x??1或x?2x22. k当k??2时，f'(x)?2e(x?1)?0，故f(x)的单调递增区间是(-?, ). ………………………………………3分 当?2?k?0时，

f(x)，f'(x)随x的变化情况如下：

x 2(??,) k? 2 k0 极大值 2(,?1) k? ?1 0 极小值 (?1,??) ? f'(x) f(x) ? ? 2k? 2k所以，函数f(x)的单调递增区间是(??,)和(?1,??)，单调递减区间是(,?1).

………………………………………5分

当k??2时，

f(x)，f'(x)随x的变化情况如下：

x (??,?1) ? ?1 0 极大值 2(?1,) k? 2 k0 极小值 2(,??) k? f'(x) f(x) ? ? 2k? 2k所以，函数f(x)的单调递增区间是(??,?1)和(,??)，单调递减区间是(?1,).

………………………………………7分

（Ⅱ）当k=-1时，f(x)的极大值等于3e. 理由如下：

当k??2时，f(x)无极大值.

当?2?k?0时，f(x)的极大值为f()?e(?22k?241?)， 2kk………………………………………8分

用心 爱心 专心 - 8 -

令e(?241414?2，即 解得 或（舍）. ?)?3e??3,k?k??1k2k3k2k

………………………………………9分

ek 当k??2时，f(x)的极大值为f(?1)??.

k………………………………………10分

因为 ek?e?2，0??11?， k2ek1?2所以 ??e.

k2因为

1?2e?3e?2， 2?2所以 f(x)的极大值不可能等于3e. ………………………………………12分 综上所述，当k??1时，f(x)的极大值等于3e.

………………………………………13分

(19)（本小题满分13分）

?2x2y2（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为2?2?1(a?b?0).

ab?45?， 因为F1(?1,0)，?PFO1所以b=c=1.

所以 a2=b2+c2=2. ………………………………………2分

x2?y2?1. ………………………………………3分 所以 椭圆G的标准方程为2（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4).

?y?kx?m1,?222(1?2k)x?4kmx?2m?2?0. （ⅰ）证明：由?x2消去得：y112??y?1.?222则??8(2k?m1?1)?0，

4km1?x?x??,122??1?2k ………………………………………5分 ?2?xx?2m1?2.?121?2k2?用心 爱心 专心

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所以 |AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

2 ?1?k(x1?x2)2?4x1x2 4km122m12?2(?)?4? 1?2k21?2k22 ?1?k2 ?221?k

2k2?m12?11?2k2.

同理 |CD|?221?k因为 |AB|?|CD|,

222k2?m2?11?2k2. ………………………………………7分

所以 221?k22k2?m12?11?2k2?221?k222k2?m2?11?2k2. 因为 m1?m2，

所以 m1?m2?0. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB,CD间的距离为d,则 d=m1-m21+k2. 因为 m1?m2?0， 所以 d=2m11+k2. ………………………………………10分

所以 S?|AB|?d?221?k22k2?m12?12m1?

21?2k21?k2k2?m12?1?m12(2k2?m12?1)m122?42?42?22. 221?2k1?2k(2k2?1)m12?m14m12121?42?(?)??22） （或S?42(1?2k2)21?2k224所以 当2k?1?2m1时， 四边形ABCD的面积S取得最大值为22. 22用心 爱心 专心 - 10 -