北京市海淀区2012届高三数学下学期期中练习试题 理（2012海淀一

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（理科）

2012.04

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的. （1）已知集合A={xx>1}，B={xx

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 （2）在等比数列{an}中，a1=8，a4=a3a5，则a7=

（A）

1 16 （B）

111 （C） （D） 8423?)且平行于极轴的直线的极坐标方程是 2（3）在极坐标系中，过点(2,（A）?sin?=-2 （B）?cos?=-2 （C）?sin?=2 （D）?cos?=2

（4）已知向量a=(1，x)，b=(-1，x)，若2a?b与b垂直，则a?

（A）2 （B）3 （C）2 （D）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k值是

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是

（A）12 （B）24 （C）36 （D）48

结束 n=1 是 开始 n=5，k=0 n为偶数 是 否 n?n 2n?3n?1 k=k+1 否 输出k ??x2?ax,x?1,（7）已知函数f(x)?? 若?x1,x2?R,x1?x2，使得f(x1)?f(x2)成立，则实

ax?1,x?1,?数a的取值范围是

（A）a<2 （B）a>2

用心 爱心 专心

- 1 -

（C）-22或a<-2 （8）在正方体ABCD-A'B'C'D'中，若点P（异于点B）是

ADB棱上一点，则满足BP与AC'所成的角为45°的点P的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6

B'A'C'CD'二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数

a+2i在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a= . 1-ix2y2（10）过双曲线-=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程

916是 . （11）若tan?=1?，则cos(2?+)= . 2?（12）设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需

求弹性

EQQ'EQ大于1（其中，则商品价格P的取值范围=-P，Q'是Q的导数）

EPQEP是 .

（13）如图，以?ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交

CBC于点E，EF^AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2，

那么DCDE= ，CD= .

ADEFB

ì1,x?Q,??（14）已知函数f(x)=í则 ?0,x?eQ,R??（ⅰ）f(f(x))= ； （ⅱ）给出下列三个命题： ①函数f(x)是偶函数； ②存在xi?R(i③存在xi?R(i1,2,3)，使得以点(xi,f(xi))(i=1,2,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形； 1,2,3,4)，使得以点(xi,f(xi))(i=1,2,3,4)为顶点的四边形为菱形.

用心 爱心 专心

- 2 -

其中，所有真命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A，B， C成等差数列. （Ⅰ）若b=13，a=3，求c的值；

（Ⅱ）设t?sinAsinC，求t的最大值.

P (16)（本小题满分14分）

在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，AB^AD，

AB=4,AD=22,CD=2，PA^平面ABCD，

PA=4.

（Ⅰ）设平面PAB?平面PCD?m，求证：CD//m； （Ⅱ）求证：BD?平面PAC；

（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PACCBAD所成角的正弦值为

3PQ，求的值． 3PB (17)（本小题满分13分）

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，

[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].

（Ⅰ）求直方图中x的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

(18)（本小题满分13分）

用心 爱心 专心

- 3 -

频率/组距0.025x0.00650.003O20406080100时间

已知函数f(x)?e?kx1(x2?x?)(k?0).

k（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数k，使得函数f(x)的极大值等于3e？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

(19)（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1(?1,0)， P为椭

?2?45?. 圆G的上顶点，且?PFO1（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）已知直线l1：y?kx?m1与椭圆G交于A，B两点，

l1Ayl2DOxC直线l2：y?kx?m2（m1?m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|?|CD|，如图所示.

（ⅰ）证明：m1?m2?0;

（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值.

(20)（本小题满分14分）

B??1,x?M,对于集合M，定义函数fM(x)??对于两个集合M，N，定义集合

1,x?M.?M?N?{xfM(x)?fNx(?)?. 1}已知A={2,4,6,8,10}，B={1,2,4,8,16}.

（Ⅰ）写出fA(1)和fB(1)的值，并用列举法写出集合A?B；

（Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求Card(X?A)?Card(X?B)的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足P,Q?A?B，且(P?A)?(Q?B)?A?B？

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（理科）

参考答案及评分标准 2012．04

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

用心 爱心 专心

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题号 （1） D （2） B （3） A （4） C （5） B （6） D （7） A （8） B 答案 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）2 （10）4x-3y-20=0 （11）-4 （12）(10,20) 5（13）60°

313 （14）1 ①③ 13三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为A,B,C成等差数列， 所以2B?A?C. 因为A?B?C??， 所以B? 因为b=2?. ………………………………………2分 313，a=3，b2?a2?c2?2accosB，

所以c?3c?4?0. ………………………………………5分

所以c?4或c??1（舍去）. ………………………………………6分

（Ⅱ）因为A?C?2?， 32?t?sinAsin(?A) 所以

331cosA?sinA) 22 ?sinA( ? ?311?cos2Asin2A?() 42211??sin(2A?). ………………………………………10分 4262? 因为0?A?，

3??7? 所以??2A??.

666???3 所以当2A??，即A?时，t有最大值.

4623用心 爱 …… 此处隐藏：1351字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……