湖北省八校2012届高三第二次联考理科数学试题(2)

定值?4； 51），N为抛物线C2：y?x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交5（Ⅰ）求动点P的轨迹C1的方程； （Ⅱ）设M（0，

曲线C1于P、Q两点，求?MPQ面积的最大值．

21. (本题满分14分) （1）证明不等式：ln(1?x)?x(x?0) 1?xax在(0,??)上单调递增，求实数a的取值范围。 a?xx1?x?1在[0,??)上恒成立，求实数b的最大值。 （3）若关于x的不等式

1?bxe（2）已知函数f(x)?ln(1?x)?

湖北省 荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中 八校

鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、

2012届高三第二次联考 数学试题（理科）参考答案

一、选择题：

题号

答案

二、填空题:

11、12i； 12、[2k??1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A D D B B C D A C D

5??4,2k??](k?Z)； 13、； 14、1?2； 66315、（1）1?

三、解答题:

450 （2）45 5xxx31?cosx16、解：（1）f(x)?3sincos?cos2?1?sinx??122222

311?1?sinx?cosx??sin(x?)?22262??????????????3分

∵f(x)?11?3?????4[,]，os(x?)? ,∴sin(x?)?；又∵x?[0,]，∴x???即c1065266365??????433?cosx?cos[(x?)?]?cos(x?)cos?sin(x?)sin??

6666661010?????????????????

??6分

（2）由2bcosA?2c－得：2sinBcosA?2sinc?3sinA?2sinBcosA?2sin(A?B)?3sinA?2sinBcosA?2[sinAcosB?cosAsinB]?3sinA ?2sinAcosB?3sinA?cosB?3??B?(0,]26??????????????10分

∴sin(B?

?1?11)?(?,0]，即f(B)?sin(B?)??f(B)?(0,] 62622?????????????????

????12分

17、解：（1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：

168?169?168.5. 2??????????????2分

（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

?按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5?5?12?3人； 208?2人，“非高个子”为20C327则至少有1人为高个子的概率P＝1－2?

C510??????????????6分

（3）由题可知：湖北师范学院的高个子只有3人，则?的可能取值为0,1，2,3；

3C510，P(??0)?3?C8561C52C330P(??1)?3?C85612C5C15P(??2)?33?C856故，，

3C31P(??3)?3?，

C856即?的分布列为：

?

P

0 1 2 3

1030 565610301519E?＝0?＋1?＋2?＋3?＝。

565656568答

15 561 56：

（略） ??????????????12分

18、解： （Ⅰ）证明：根据三视图知：三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，AB?BC?2AA1，

?ABC?90?

连结AC1，交AC1于点O，连结OD. 由 ABC?A1B1C1是直三棱柱，

得 四边形ACC1A1为矩形，O为AC1的中点. 又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线， 所

以

A1B∥

OD， ??????????2分

因为 OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1， 所

以

A1B?∥平分

面

A1. ???????????4

DC（Ⅱ）解：由ABC?A1B1C1是直三棱柱，且?ABC?90，故BA,BC,BB1两两垂直.

如

图

建

立

空

间

直

角

坐

标

系

B?x. ??????????5分 则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0). ?BA?2，

?????????所以 AD?(1,?2,0)，AC1?(2,?2,1)

??????n?AD?0,设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z)，则有????? ???n?AC1?0.所

以

?x?2y?0,??2x?2y?z?0. 取

y?1，得

n?(2,1,?2). ???????? ?6分

易知平面ADC的法向量为v?(0,0,1). ??????????7分

由二面角C1?AD?C是锐角，得 cos?n,v??分

所以二面角C1?AD?C的余弦值为（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E.

因为E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0,?,1)，其中0???2.

|n?v|2?.??????????8nv32. 3?????????所以 AE?(0,??2,1)，DC1?(1,0,1). ?????????9分

?????????AE?DC11?因为AE与DC1成60角，所以??????????. ?????????10分

2AEDC1即1(??2)2?1?2?1，解得??1，舍去??3. ????????11分 2?所以当点E为线段A1B1中点时，AE与DC1成60角. ?????????12分 （其它方法请酌情给分） 19、解：（1）由Sn?1211111an?an?①得，当n≥2时，Sn?1?an?12?an?1?②； 424424由①－②化简得：(an?an?1)(an?an?1?2)?0，又∵数列{an}各项为正数，∴当n≥2时，

an?an?1?2，故数列{an}成等差数列，公差为2，又a1?S1?a1?1,?an?2n?1；

1211a1?a1?，解得424??????????????5分

?an,n为奇数?（2）由分段函数f(n)??n 可以得到：

f(),n为偶数??2c1?f(6)?f(3)?a3?5,c2?f(8)?f(4)?f(2)?f(1)?a1?1；

??????????7分

当n

n≥

?1n3，

n?N?时

n，

cn?(f2?4?f)?2?n(f， ?2?22??)?n(故当n?3，时，Tn?5?1?(22?1)?(23?1)???(2n?1?1)4(1?2n?2)?6??(n?2)?2n?n1?2?5,n?1?Tn??n?2?n,n?2

??????????????12分

20、（1）设点P（x,y）,依题意则有

yy4???(x??5)，整理得：

5x?5x?5x2y2??1(x??5) 54