湖南省长沙市2013届高三高考模拟数学（理）试题(2)

(2)已知a1?a2???a3n?1，ai>0(i=1,2,3,…,3n)，求证：

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3nlog3a3n??n

2013年长沙市高考数学模拟试卷 （一）

数学（理科）参考答案及评分标准

一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 B

二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)

77 10. (-8，1] 11. ?ln2 12. 600 83275?13. (23，) 14. 3 15.

649.

y2x2x2y216. 2027091?； +=1和+=1，

2013201220122013三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

??17.解(1)由已知得:f?x??3cos?x?3sin?x?23sin???x?? 3??又?ABC为正三角形,且高为23,则BC=4.所以函数f?x?的最小正周期为8,即2???8,???,????f?x??23sin?x??.

4?43?因为x??0,1?,所以???x???7?,3?f?x??23.

34312 函数f?x?的值域为3,23………………………6分

?x?4(2)因为f?x0??83,有f(x0)?23sin(?x0??)?83， 即sin(0?)?

4354355???x102???由x0?（?，），得(0?)?(?,)

334322所以，即cos(?x0??)?1?(4)2?3

4355故f(x0?1)?23sin(?x04??4??3)?23sin[(?x04??3)??

]4

?23[sin(?x04344232?23(???)5252??)cos??cos(?x04??3)sin?4

?76 ………………………………………………12分

518. 解: 依题意，?ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，?△ABD与△ABC成30o的二面角, ??DBY=30o，又AB=BD=2， ? A(0，0，2)，B(0，0，0)，

C(0，3，1)，D(1，3，0)，

(1)|CD|=(1?0)?(3?3)?(0?1)=2……… 5分 (2)?x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。 设CD与面ABC成的角为?，而CD= (1，0，-1)，

C ?sin?=

A 222 z |(1,0,0)?(1,0,?1)|12?02?0212?02?(?1)2=

2 2 x B D y ???[0，

??]，??=；…………………8分 24 (3) 设AH=tAD= t(1，3，-2)= (t，3t，-2 t)，

CH=CA+AH=(0，-3,1) +(t，3t，-2 t) = (t，3t-3，-2 t+1)，

若CH?BA，则 (t，3t-3，-2 t+1)·(0，0，2)=0 得t=

1， ……………10分 2此时CH=(

13，-，0)，

2213-=-1?0,? CH和BD不垂直， 2220（16≤x≤24 ，t>0）。 x 而BD=(1，3，0)，CH·BD=

即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。…………………12分 19. 解：（1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln t=

20131-x+ ln（16≤x≤24）。 …………………3分 24x11=--<0，?t是x的减函数。 ?t′

4x1312012015 ?tmin=-?24+ ln=+ln=+ ln; ……………………5分

24242242613120551555 tmax=-?16+ ln=+ ln, ?值域为[+ ln，+ ln] ………7分

241624262420131 （2）由(1) t=-x+ ln（16≤x≤24）。

24x 而x=20时，t=

13120-?20 + ln=1.5(元/千克) …………………9分 2420 ?t是x的减函数。欲使x?20，必须t?1.5(元/千克)

要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分 20. 解：? f(x) =

(a?5)x?ba?5?b，p真? f ′(x)= >0

x?1(x?1)2对于x?(0，+?)成立?a-b+5>0。

?a?0? q真?方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根??b?2?0…………4分

?a2?4b?8?0??a?0?b?2?0? p?q是真命题?p真且q真?? P

a?b?5?0? A 2??a?4b?8?0b B o a 实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) ……………8分

?a?b?5?0?a?b?5?0 解：?2得a1= -2，a2= 6， 解?得a= -3;

b?2a?4b?8?0???(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：

20a?2a2da …………11分 ?2?2)da=?(a?3)da+? S=?(a?5?2)da+?(?24?24?3?3?201213072a+3a)|?+ a|?2=………………………………13分 y ?32126121. 解: (1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|，? m?0，m=-4t2， B 41Q O A x ? Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则AP=(x-，y)， 411AQ=(-4t2-，0)，2AB=(-，2 t)， ?AP+AQ=2AB。 42111?(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，

442 ? x=4t2，y=2 t，? y2=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。

(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，?M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即

=(

y2?4yPM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

22y2?4yy2?422 L=2(?4)?(?0)?(?a)2

22215y2 =2(a?4)(y?a)?=2(a?)y2?a(a?4) ……………10分

442若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-

1515=0, 即a=时，L=15 441515，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值15。……13分 4422. 解： (1)证明：? a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，

? alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a)

1?b1?b 那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，)时f ′ (a)<0，当a∈(，1)时f ′ (a)>0，

221?b1?b ? f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增；

221?b1?b1?b)=(1-b) log3+ blog3b，记g(b)= (1-b) log3+ blog3b，………3分 ? f(a)≥f(2221?b11得：g′(b)= log3b-log3，当b∈(0，)时g′(b) <0，当b∈(，1)时，g′(b) >0，

332111? g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增；? g(b)≥g()=-1。

3331 alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。……………………5分

3?存在定直线x=

(2)证明：n=1时，a1+a2+a3=1，ai>0(i=1,2,3)，由(1)知

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3≥-1成立，即n=1时，结论成立。 设n=k时结论成立，即a1+a2+…+a3k=1，ai>0(i=1,2,3,…,3k)时

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k≥-k.

那么，n=k+1时,若a1+a2+…+a3k+a3k?1+…+a3k?1=1，ai>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，

令a3k?1+…+a3k?1aka1a2=t，则++…+3=1，由归纳假设：

1?t1?t1?takaka1a1a2a23 ++…+loglog3log33≥-k.……………… 8分 31?t1?t1?t1?t1?t1?t? a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k-(1-t) log3(1-t) ≥-k(1-t). ?a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k≥-k(1-t)+ (1-t) log3(1-t)…(1)

设a2?3k?1+…+a3k?1=s，则a3k?1+…+a2?3k=t-s，

a3k?1a3k?2t?s+

t?s+…+

a2?3kt?s=1，

由归纳假设：

a3k?1t?slog3a3k?1a3k?2t?s+

t?slog3a3k?2t?s+…+

a2?3kt?slog3a2?3kt?s≥-k.

?a3k?1log3a3k?1+a3k?2log3a3k?2+…+a2?3klog3a2?3k≥-k(t-s)+ (t-s)log3(t-s)

………(2)………………10分

?a2?3k?1+…+a3k?1=s，?a2?3k?1a2?3k?2s+

s+…+

a3k?1s=1；由归纳假设同理可得：

a2?3k?1log3a2?3k?1+a2?3k?2log3a2?3k?2+…+a3k?1log3a3k?1 ≥-ks+ slog3s ……(3) 将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得：

a1log3a1+a2log3a2+…+a3klog3a3k+…+a2?3klog3a2? …… 此处隐藏：2432字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……