数字信号处理习题集（5-7章）(3)

1 ?33(1?z?1)3?2(1?z?1)3

21(1?z?1)2(1?z?1)?(1?z?1)(1?z?1)2?(1?z?1)33333下面将数字低通变换位数字带通。

a?cos(?1??22)/cos(?2??12)?cos/cos

23??k?ctan(?2??12)tan?p??31 ?ctan.tan?.23633于是得到变换公式：

z?12?k?1k?11Z?Z?2?2Z?2?1k?1k?12 ??????2k?1?22?k?11?2Z?2Z?Z?1?Z?1k?1k?12Z?2?最后可以得到所要求的数字带通滤波器的系统函数

Hd(Z)?H1(z)z?1?2Z?2?1Z?2?2

1 ?33?(Z?2?1)3?2(3Z?2?3)3

21(Z?2?1)2(3Z?2?3)?(Z?2?1)(3Z?2?3)2?(3Z?2?3)33333

三、FIR数字滤波器设计

填空题：

1．用频率取样法设计线性相位FIR滤波器时，控制滤波器阻带衰减的方法为（ ）。 解：增加过滤点

1?z?1H（z)?2，试判断滤波器的类型（低通，高2．已知一FIR数字滤波器的系统函数

通，带通，带阻）为（ ）。

解：高通

3．要获得线性相位的FIR数字滤波器，其单位脉冲响应h(n)必须满足条件: ⑴ （ ）⑵ （ ）

解：（1）h(n)是实数

（2）h(n)满足以n?(N?1)2为中心的偶对称或奇对称，即h(n)??h(N?1?n)

4．FIR系统称为线性相位的充要条件是（ ）。

解：（1）h(n)是实数

（2）h(n)满足以n?(N?1)2为中心的偶对称或奇对称，即h(n)??h(N?1?n)

5．FIR滤波器（单位取样序列h（n）为偶对称且其长度N为偶数）的幅度函数H(?)对?点奇对称，这说明?频率处的幅度是（ ），这类滤波器不宜做（ ）。 解：0 高通、带阻滤波器

6．用窗口法设计出一个FIR低通滤波器后，发现它过渡带太宽。这样情况下宜采取的修改措施是（ ）。 解：加大窗口长度，或换用其他形状的窗口

7．线性相位FIR滤波器传递函数的零点呈现（ ）的特征。 解：互为倒数的共轭对（四零点组、二零点组或单零点组）

判断说明题：

?8．所谓线性相位FIR滤波器，是指其相位与频率满足如下关系式：?（?）数 （ ）

解：错。所谓线性相位滤FIR波器，是指其相位与频率满足如下关系式：

?k?,k为常

?(?)??k???,k,?为常数。

9．用频率抽样法设计FIR滤波器时，减少采样点数可能导致阻带最小衰耗指标的不合格。（ ）

解：错。减小采样点数，不会改变通阻带边界两抽样点间的幅度落差，因而不会改变阻带最小衰耗。

10．只有当FIR系统的单位脉冲响应h(n)为实数，且满足奇/偶对称条件

h(n)??h(N?n)时，该FIR系统才是线性相位的。 （ ）

解：错。只有当FIR系统的单位脉冲响应h(n)为实数，且满足奇/偶对称条件

h(n)??h(N?1?n)时，该FIR系统才是线性相位的。

11．FIR滤波器一定是线性相位的，而IIR滤波器以非线性相频特性居多。 （ ） 解：错。FIR滤波器只有满足一定条件时，才是线性相位的。

简答题：

12．利用窗函数法设计FIR滤波器时，如何选择窗函数？ 解：答案略。

13．什么是吉布斯（Gibbs）现象? 窗函数的旁瓣峰值衰耗和滤波器设计时的阻带最小衰耗各指什么，有什么区别和联系？

答：增加窗口长度N只能相应地减小过渡带宽度，而不能改变肩峰值。例如，在矩形窗地情况下，最大肩峰值为8.95%;当N增加时，只能使起伏振荡变密，而最大肩峰值总是8.95%,

这种现象称为吉布斯效应。

旁瓣峰值衰耗适用于窗函数，它是窗谱主副瓣幅度之比，即旁瓣峰值衰耗=20lg(第一旁瓣峰值/主瓣峰值)。

阻带最小衰耗适用于滤波器。工程上习惯于用相对衰耗来描述滤波器。相对衰耗定义为。当滤波器是用窗口法得出时，阻带最小衰耗取决于窗谱主副瓣面积之比。

14．何为线性相位滤波器?FIR滤波器成为线性相位滤波器的充分条件是什么？ 答：线性相位的滤波器是指其相位函数?(?)与数字频率

?成线性关系，即

?(?)?????(?,?为常数)。

FIR滤波器成为线性相位的充分条件是： ①h(n)是实数。 ②h(n)满足以n?N?1为中心的偶对称或者奇对称，即h(n)??h(N?1?n)。 215．仔细观察下图。

（1） 这是什么类型具有什么特性的数字滤波器？ （2） 写出其差分方程和系统函数。

x?n??1z?1z?1z?1?1?3?1z?1z?11?6y?n?

解：（1）因为h(n)为奇对称，N=6为偶数。

所以是第四类线性相位的FIR DF，适合用做希尔伯特滤波器及微分器。 （2）系统函数：H(z)?1?3z?1?6z?2?6z?3?3z?4?z?5

差分方程：y(n)?x(n)?3x(n?1)?6x(n?2)?6x(n?3)?3x(n?4)?x(n?5)

16．设h(n)是一个N点序列(0?n?N?1)，表示一个因果的FIR滤波器，如果要求该

滤波器的相位特性为：?(?)??m?,m为常数。

说明：h(n)需要的充分必要条件，并确定N和m的关系。 解：充分必要条件：h?n???h?N?1?n? N与m的关系：m?N?1 217．试述窗函数法设计FIR数字滤波器的基本步骤？

解；原理：在时域内用窗函数对理想滤波器的时域特性hd?n?截断，

用截断后长冲激响应去逼近理想滤波器的hd?n?，所得到的频率响应?Hdej?

??18．FIR滤波器具有线性相位的条件是什么？其相位表达式是什么？

解：线性相位条件：h?n???h?N?1?n?

相位表达式：??????0???，?0是起始相位。

计算题：

19．如下图所示，两个长度为8的有限长序列h1(n)和h2(n)是循环位移关系。试问：

h1?n?h2?n?01234567n01234567n

（1）它们的8点离散傅立叶变换的幅度是否相等？

（2）做一个低通FIR数字滤波器，要求h1(n)或h2(n)之一作为其冲激响应，说明下列哪种说法正确？为什么？

①用h1(n)比h2(n)好； ②用h2(n)比h1(n)好；③两者相同 解：

h1(n)可看成是由h2(n)循环移序而得到

~~h1(n)?h2(n?4)RN(n)?h2(n?4)R8(n)

?4k根据DFT的循环移序特性，得到 H1(k)?W8H2(k)?(?1)kH2(k)

故 H1(k)?H2(k)

（2）用h1(n)比h2(n)好，即说法①比较正确。原因是：理想低通的hd(n)是sinc?函数，是非因果，不可实现的，要实现必须加时延。 加时延截断后的h(n)图形正如h1(n)。而

??h2(n)在数值最高处截断，其频谱H2(ej?)的泄漏大于H1(ej?)，显然不好。所以作为

低通滤波器，从衰减特性看，h1(n)是优于h2(n)的。