数字信号处理习题集（5-7章）

第五章 数字滤波器

一、数字滤波器结构

填空题：

1．FIR滤波器是否一定为线性相位系统？（ ）。

解：不一定

计算题：

2．设某FIR数字滤波器的冲激响应，h(0)?h(7)?1,h(1)?h(6)?3,

h(2)?h(5)?5,h(3)?h(4)?6，其他n值时h(n)?0。试求H(ej?)的幅频响应和

相频响应的表示式，并画出该滤波器流图的线性相位结构形式。

解： h(n)??1,3,5,6,6,5,3,1?,0?n?7

H(e)??h(n)e?j?nj?n?0N?1

?1?3e?j??5e?j2??6e?j3??6e?j4??5e?j5??3e?j6??e?j7??e7?j?27755733711??j???j??j??j???j??j??j???j??j??j???j7?e2?e2??3e2?e2?e2??5e2?e2?e2??6e2?e2?e2?????????????????7?????3???5???7????j2???12cos???10co?s??6co?s??2co?s??e?H(?)ej?(?)

?2??2??2??2???所以H(ej?)的幅频响应为

7?????3???5???7????j2? H(?)??12cos???10cos???6cos???2cos???e?2??2??2??2???H(ej?)的相频响应为

?(?)???

72作图题：

3．有人设计了一只数字滤波器，得到其系统函数为：

?1?10.287?10.446z6?2.142?81.145z5H(z)???1?2?1?21?1.297z1?0.694z91?1.069z1?0.369z9

1.8557?0.6303z?1??1?21?0.9972z?0.2570z

请采用并联型结构实现该系统。 解：答案略

4．用级联型结构和并联型结构实现一下传递函数

32（1）H(z)?3z?3.5z?2.5z

(z2?z?1)(z?0.5)4z3?2.8284z2?z（2）H(z)?2

(z?1.4142z?1)(z?0.7071)

3z3?3.5z2?2.5z3?3.5z?1?2.5z?2??2解：（1）H(z)?2 ?1?1(z?z?1)(z?0.5)(z?z?1)(1?0.5z)（5z?1?3)(0.5z?1?1)21?z?1??2??(z?z?1?1)(1?0.5z?1)1?0.5z?1z?2?z?1?1?3?3.5z?2.5z1?1.5z?1?1.5z?2?0.5z?3?1?2

级联型结构及并联型结构图略 （2）

4z3?2.8284z2?zH(z)?2(z?1.4142z?1)(z?0.7071)

4?2.8284z?1?z?2?(1?1.4142z?1?z?2)(1?0.7071z?1)?4.5857?0.4143z?0.5857?1?1.4142z?1?z?21?0.7071z?1?1

级联型结构及并联型结构图略

5．用横截型结构实现以下系统函数：

H(z)?(1?解：

1?11z)(1?6z?1)(1?2z?1)(1?z?1)(1?z?1)26

1?11?1?1?1H(z)?(1?z)(1?6z)(1?2z)(1?z)(1?z?1)

26 ?(1?1?11z?2z?1?z?2)(1?z?1?6z?1?z?2)(1?z?1) 265?137?1z?z?2)(1?z?z?2)(1?z?1)26 8?1205?2205?38?4?1?z?z?z?z?z?5312123?(1?结构图略。

6．设某FIR数字滤波器的系统函数为

1H(z)?(1?3z?1?5z?2?3z?3?z?4)5

试画出此滤波器的线性相位结构。

解：由题中所给的条件可知

1331h(n)??(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)??(n?4)

5555则

1?0.253h(1)?h(3)??0.6

5h(2)?1h(0)?h(4)?N?1?2处，N为奇数（N=5）。 2即h(n)是偶对称，对称中心在n?线性相位结构如下图示

x(n)z?1z?1z?1z?10.61 0.2y(n) 图 P5-7

7．画出由下列差分方程定义的因果线性离散时间系统的直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联型和并 联型结构的信号流程图，级联型和并联型只用1阶节，

y(n)? 解：（1）直接Ⅰ型

311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)483

x(n)y(n)z?1133/4?1/8（2）直接Ⅱ型

z?1z?1

x(n)y(n)z?13/4?1/8

（3）级联型

1/3z?1

x(n)y(n)z?11/4将系统函数写成

z?11/2

1/311?z?113 H(z)??1?11?11?z1?z42（4）并联型

x(n)?7/3y(n)z?11/410/3z?11/2

2z3?3z2?2z8．用级联型及并联型结构实现系统函数：H(z)?2

(z?z?1)(z?1)解：①用级联型结构实现

z?1?12z(z?2)(z?1)1?2?2?1?2z2 H(z)?2??1?2?1(z?z?1)(z?1)1?z?z1?z信号流图如图（a）所示。

②用并联型结构实现

7z2?6z?24z?13 H(z)?2?2 ?2?2?(z?z?1)(z?1)z?z?1z?14z?1?z?23z?1? ?2?

1?z?1?z?21?z?1信号流图如图（b）所示。

X2z?12z?11?2Yz?1?1（a）

2Xz?1Y3z?1z?14?1

（b）

9．已知滤波器单位抽样响应为

?2nh(n)???00?n?5 画出横截型结构。

其它解：y(n)?h(n)?x(n)?横截型结构如图所示。

?h(k)x(n?k)??2k?0k?055kx(n?k)