数字信号处理习题集（5-7章）(2)

z?1x(n)z?12z?14z?18z?11632y(n)

10．用卷积型和级联型网络实现系统函数：H(z)?(1?1.4z?1?3z?2)(1?2z?1)

解： H(z)?(1?1.4z?1?3z?2)(1?2z?1) (8.3)

?1?0.6z?1?0.2z?2?6z?3 (8.4)

由（8.3）式得到级联型结构如图T8.11（a）所示，由（8.4）式得到卷积型结构如图T8.11（b）所示。

z?1Xz?10.2z?16z?1?1.4z?13z?1Y2x(n)0.6y(n)(a)图T8.11

(b)

二、IIR数字滤波器设计

填空题：

0.9?z?11．已知一IIR滤波器的H（z)?，试判断滤波器的类型为（ ）。 ?11?0.9z解：全通系统

2．脉冲响应不变法的基本思路是（ ）。

??ha(t)????ha(nT)解：H(s)??L?1[?]抽样?h(n)????H(z)

L?1[?]3．写出设计原型模拟低通的三种方法：（1）（ ），（2）（ ），（3）（ ）。 解：（1）巴特沃兹逼近，（2）切比雪夫逼近，（3）椭圆滤波器

4．设计数字滤波器的方法之一是先设计模拟滤波器，然后通过模拟S域（拉氏变换域）到数字Z域的变换，将模拟滤波器转换成数字滤波器，其中常用的双线性变换的关系式是（ ）。 解：答案略

2?Fs变换到

5．设计IIR DF时采用的双线性变换法，将S域j?轴上的模拟抽样角频率

Z域单位圆上的数字频率（ ）处。

解：2arctg(?)

简答题：

6．试分析脉冲响应不变法设计数字滤波器的基本思想、方法及其局限性。 解：答案略

7．从以下几个方面比较脉冲响应不变法和双线性变换法的特点：基本思路，如何从S平面映射到Z平面，频域变换的线性关系。 解：答案略。

判断说明题：

8．将模拟滤波器转换成数字滤波器，除了双线性变换法外，脉冲响应不变法也是常用方法之一，它可以用来将模拟低通，带通和高通滤波器转换成相应的数字滤波器。（ ） 答：由于采用脉冲响应不变法转换时，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。所以当模拟滤波器的频响是限带于半抽样频率之内时，周期延拓不会造成频谱混叠，变换得到的数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响。

故脉冲响应不变法只适用于设计频率严格有限的低通、带通滤波器，不适用于设计高通滤波器。

9．采用双线性变换法设计IIR DF时，如果设计出的模拟滤波器具有线性频响特性，那么转换后的数字滤波器也具有线性频响特性。（）

答：采用双线性变换法设计IIR DF时，数字频率?与模拟频率?的关系不是线性的，即

??2???tg??。因此，变换前的线性频响曲线在经过???非线性变换后，频响曲线的T?2?各频率成分的相对关系发生变化，不再具有线性特性。

计算题：

10．假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)?Ha(z?1)（用了变换z?1s?z?1）于是数字滤波器的通带中心位于： z?1（1）??0（是低通）

（2）???（是高通）

（3）在（0，?）内的某一频率上 是判定哪个结论对。

解：只要找出对应于??0的数字频率?的值即可。 由

s?z?1s?1?z?,z?ej?,s?j?代入上式，得 z?1s?1频率点的对应关系为

S平面 Z平面

???

??0?????0即将模拟低通中心频率??0映射到???处，所以答案为（2）

11．设有一模拟滤波器

Ha(s)?1(s2?s?1)

抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H(z)。 解

由变换公式

1?z?1s?c?1?z?1 及c?

2,T?2，可得 T1?z?1s??1

1?zs?1?z?11?z?1

所以

H(z)?Ha(s)|

?1?z?1??1?z?1???????1?1??1?? ? ?1?z??1?z?(1?z?1)2?3?z?212．下图表示一个数字滤波器的频率响应。

（1）用冲激响应不变法，试求原型模拟滤波器的频率响应。

（2）当采用双线性变换法时，试求原型模拟滤波器的频率响应。

?12H(ej?)113??解 （1）

?2?3??30?32?3??

冲激响应不变法

j?因为?大于折叠频率时H(e)为零，故用此法无失真。

H(ej?)?T?1?Ha(j)?Ha(j?) TT由图可得

52??2??,????????333?25?2? H(ej?)?????,????333???0,[??,?]内的其他???又由???T，则有

52??2?T?,????????33T3T?25?2????T?,??? Ha(j?)?H(ej?)|???T???33T3T

??0,其他???Ha(j?)113?2?3T??3T0?3T2?3T?

（2） 双线性变换法 根据双线性变换公式，可得：

Ha(j?)?Ha(jc?tan?2)

推出 ??c?tan(?2)

即 故

??2arctan(?) c?4?53arctan?,?3c?????c33???53?4 Ha(j?)???arctan?,c???3c

c33??0,其他????1Ha(j?)130?3c?3c33c33c?

13．用双线性变换法设计一个3阶Butterworth数字带通滤波器，抽样频率fs?720Hz，上下边带截止频率分别为f1?60Hz，f2?300Hz。 附：低阶次巴特沃斯滤波器的系统函数H(s):

阶 次 1 2 3 4 系 统 函 数 ?pc/(s+?pc) ?pc2/(s2+1.414?pcs+?pc3) ?pc3/(s3+2?pcs2+2?pc2s+?pc3) ?pc4/(s4+2.613?pc s3+3.414?pc 2s2+2.613?pc 3s+?pc 4)

解：该数字带通滤波器的上下边带截止频率：

?1?2?f1f?2??60720??6

s?2?2?f2f?2??300720?5?6

s数字低通原型滤波器的截止频率?p可以自选，为了使下面参数k的表示比较简单，这里选

?p2?2?p??3。则相应的模拟低通滤波器的截止频率???tan?2ftan?fs csTs263于是可以得到3阶模拟低通滤波器的系统函数

83??cHa(s)?3?2223??s?2??s?2?s??ccc33

488s3?fss2?fs2s?fs33333fs3而数字低通原型滤波器的系统函数

H1(z)?Ha(s)21?z?11?z?1s???1?2fsTs1?z1?z?1