2013-2014学年北京市西城区高一下学期期末考试数学试题(2)

化简为AB?2AB?2?0，

2

【11分】 【13分】

解得AB?1?3，或AB?1?3（舍去）。

17. （本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为（0.005+0.01+a+0.03+0.035）?10?1, 所以a?0.02。

【2分】 【3分】

（Ⅱ）解：依题意，第3组的人数为0.3?100?30，第4组的人数为0.2?100?20，第5组的人数0.1?100?10，所以这三组共有60人。

【4分】

【5分】

利用分层抽样的方法从这60人中抽取6人，抽样比为所以在第3组抽取的人数为30?的人数为10?

61?。 601011?3，在第4组抽取的人数为20??2，在第5组抽取1010

【8分】

1?1。 10

（Ⅲ）解：记第3组的3人为A1,A2,A3，第4组的2人为B1,B2,第5组的1人为C1。 从6人中抽取2人的所有情形为：（A1,A2）,（A1,A3）,（A1,B1），（A1,B2），（A1,C1），（A2,A3），（A2,B1），（A2,B2），（A2,C1），（A3,B1），（A3,B2），（A3,C1），（B1,B2），（B1,C1），（B2,C1），共15种可能。

【11分】

其中第4组的2人中，至少有1人被抽中的情形为：（A1,B1），（A1,B2），（A2,B1），（A2,B2），（A3,B1），（A3,B2），（B1,B2），（B1,C1），（B2,C1），共9种可能。

【13分】

【14分】

所以，第4组至少有1人被抽中的概率为P?18. （本小题满分13分）

93?。 1552（Ⅰ）解：a?1时，f(x)?(x?2)x?(x?1)?1.

【1分】 【2分】

所以，函数f(x)在（0，1）上单调递减；在（1，3）上单调递增。

6

所以f(x)在[0，3]上的最小值为f(1)??1。 又f(3)?f(0),

所以f(x)在[0，3]上的最大值为f(3)?3。

【3分】

【4分】

（Ⅱ）解：（1）当a?0时，原不等式同解于(x?2)(x?a?1)?0。 a 【5分】

a?1a?1??0, aaa?1?2, 所以 a因为2?

【6分】 【7分】 【8分】

a?1}。 aa?1)?0。 （2）当a?0时，原不等式同解于(x?2)(x?aa?1a?1?由2?，得： aaa?1①若?1?a?0，则2?，

aa?1此时，f(x)?0的解集为{x2?x?}。

a此时，f(x)?0的解集为{xx?2,或x?②若a??1，原不等式无解。 ③若a??1，则2?

【10分】 【11分】

a?1， aa?1?x?2}。 a

【13分】

此时，f(x)?0的解集为{x综上，当a?0时，不等式的解集为{xx?2,或x?为{x2?x?{xa?1}；当?1?a?0时，不等式的解集a；当a??1时，不等式的解集为a?1}；当a??1时，不等式的解集为?aa?1?x?2}。 a19. （本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为数列{an}的前n项和Sn?3?1， 所以an?Sn?Sn?1?(3?1)?(3nn?1n?1)?2.3n?1(n?2)。

【2分】 【3分】 【4分】

因为n?1时，a1?S1?2，也适合上式， 所以an?2.3n?1(n?N*)。

7

（Ⅱ）（ⅰ）证明：当n?2时，bn?3bn?1?2.3n?1， 将其变形为

bnbn?1bnbn?1??2??2。 ，即n?1n?2n?1n?23333 【6分】

所以，数列?

b1?bn?

?1，公差为2的等差数列。 是首项为0n?1?3?3?

bn?1?2(n?1)?2n?1。 n?13

【8分】

（ⅱ）解：由（ⅰ）得，

所以bn?(2n?1)?3n?1(n?N*)。

【10分】

因为Tn?1?30?3?31?5?32???(2n?1)?3n?1， 所以3Tn?1?31?3?32?5?33???(2n?1)?3n。

【12分】

两式相减得2Tn??1?2(31?32???3n?1)?(2n?1)?3n。 整理得Tn?(n?1)?3n?1(n?N*)。 20. （本小题满分13分）

（Ⅰ）解：b1?1，b2?1，b3?2。

【3分】

【14分】

（Ⅱ）解：因为{an}为等比数列，a1?1，a2?2， 所以an?2n?1，

【4分】

因为使得an?m成立的n的最大值为bm，

所以b1?1，b4?b5?b6?b7?3，b8?b9???b15?4，b16?b17???b31?5，b2?b3?2，

b32?b33???b50?6，

【6分】

【8分】

所以b1?b2?b3???b50?243。

（Ⅲ）解：由题意，得1?a1?a2?a3???an??， 结合条件an?N*，得an?n。

【9分】

又因为使得an?m成立的n的最大值为bm，使得an?m?1成立的n的最大值为bm?1，

8

所以b1?1，bm?bm?1(m?N*)。 设a2?k，则k?2。 假设k?2，即a2?k?2，

则当n?2时，an?2；当n?3时，an?k?1。 所以b2?1，bk?2。 因为{bn}为等差数列， 所以公差d?b2?b1?0， 所以b*n?1，其中n?N。 这与bk?2(k?2)矛盾， 所以a2?2。

又因为a1?a2?a3???an??， 所以b2?2，

由{bn}为等差数列，得b*n?n，其中n?N。 因为使得an?m成立的n的最大值为bm， 所以an?n，

由an?n，得an?n。

9

【10分】

【11分】

【12分】

【13分】