第三章非稳态导热分析解法(3)

（ V ） ( VI ) ( VII ) 及

（ 3-24 ）

只要证明：两块无限大平板分析解的乘积就是上述无限长方柱体的分析解，即： （ 3-25 ） 证明：

首先证明式（ 3-25 ）满足导热微分方程（ 3-22 ），为此将式（ 3-25 ）代入式（ 3-22 ）的左右两端得： 左端：

右端：

左端减去右端得：

－

= － ∴证明

其次证明： 根据

+ =0 满足微分方程

满足初始条件

及 的初始条件 和

得：

∴证明 满足初始条件

最后证明： 满足边界条件

将式（ 3-25 ）代入边界条件（ I ），并注意到式（ VII ）的关系得

= [ ]= *0=0 同样可以证明它也满足式（ 3-34 ）。

再将式（ 3-25 ）代入边界条件（ III ），并注意到式（ VI ）的关系得

=0* =0

同理可证明它也满足式（ IV ）。 ∴证明 满足边界条件 综上可知： 是上述无限长方柱体导热微分方程的解。 结论：

此方法是多维非稳态导热的求乘积解法，此法适用于第一类边界条件，且

时。

同理，对长圆柱体，矩六柱体等二维，三维非稳态导热问题，可以用相应的二个或三个一维问题的解的乘积来表示其温度分布。

——表示无限大平板的解 ——表示无限长圆柱体的解

则：

（ a ）： （ b ）： （ c ）： 二、乘积解法的适用条件 ? 初始温度为常数， const ； ? 第一类边界条件， const ； ? 第三类边界条件， const 、 h=const ；

? 线性微分方程，且定解条件均为齐次，即乘积解中温度必须以过余温度或无量纲过余温度的形式表示。

说明：对于形状复杂或边界条件复杂，分析解法无能为力，应借助其它的求解的方法，

如 ① 数值解法； ② 实验模拟法。

§3 — 5 半无限大物体的非稳态导热

一、半无限大物体的概念

几何上是指从 x=0 的界面开始可以向正的 x 方向及其他两个坐标（ x,y ）方向无限延伸的物体，称半无限大物体。

实际中不存在该物体，但研究物体中非稳态导热的初始阶段，可把实物看为该物体处理。

如：有限厚度的平板，起初有均匀温度，后其侧表面突然受到热扰动，如 ? 壁温突然升高到一定值并保持不变； ? 壁面突然受到恒定的热流量密度加热； ? 壁面受到温度恒定的流体的加热或冷却。

当扰动的影响只局限在表面附近，而尚未进入平板内部时，就可视该平板为，“半无限大”物体。

二、第一类边界条件下半无限大物体非稳态导热温度场的分析解

如图 3-11 所示：已知半无限大物体初始温度均匀为（ to ），当 =0 时， x=0 侧表面温度突然升高到 ，并保持不变，试确定物体内温度随时间 的变化和在时间间隔 [0 ， τ] 内的热流量。 解： 1 、物体内的温度分布

根据半无限大物体的定义，得出其导热微分方程： （ 3-26 ）

初始条件为： τ=0 时， 边界条件为： x=0 时， x→ 时， 引入过余温度： 则有： （ 3-27 ） τ=0 时， x=0 时， x→ 时， 将微分方程

=erf （ 其中：无量纲变量 η= 化，由附录表可知：

分离变量并求解得分析解为：

） =erf η （ 3-28 ）

； erf η 称为误差函数，它随 η 的变化而变

当 η=2 时， =0.9953 ，就是说当 η 2 即 2 时，该处 x 的温度仍认为等于 to （无量纲过余温度的变化小于 5% ），由此得到以下两个重要参数：

① 从几何位置上说，若 ，则时刻 τ 时 x 处的温度可认为未发生变化。

所以，对 且厚为 2δ 的平板，当其一侧温度突然变化到另一恒定温度时，若 δ ，则在 τ 时刻之前该平板中瞬时温度场的计算可采用半无限大物体模型处理。 ② 从时间上看，如果

，则此时 x 处的温度可认为完全不变，所以把

视

为惰性时间，即当 时 x 处的温度可认为仍等于 。

2 、表面上的瞬时热流密度及在 [0 ， τ] 时间间隔内放出或吸收的热量： 物体中任意一点的热流密度：（ 3-29 ）

则，表面上的热流密度为： （ 3-30 ）

在时间 [0 ， τ] 内，流过面积 A 的总热流流量：

（3-31 ）

由此可见：

① 半无限大物体在第一类边界条件影响下被加热或冷却时，界面上的瞬时热流量与时间的平方根成反比；

② 在时间 [0 ， ] 内交换的总热量则正比于

及时间的平方根。

其中： 称为吸热系数，表示物体与其接触的高温物体吸热的能力。 三、半无限大物体概念的适用范围 只适于物体非稳态导热的初始阶段，当物体表面上的热扰动已深入传递到物体内部时，就不再适用，则应采用前述分析方法。 补充：

一、非稳态导热问题求解思路

? 解一维非稳态导热问题的基本思路

1 ） 首先，用 Bi 检验是否满足集总参数法的条件，若性质属于 h 或 δ 未知，可先假设，然后校核；

2 ）若不能用集总参数法，可采用分析解法 { 诺模图法和近似公式法 } ； 3 ）若 2 ）， 1 ）方法均不能求解，则采用数值解法。 ? 多维非稳态导热问题的求解方法 1 ）是否满足乘积解法的条件；

2 ）合理将一个多维问题分析成几个一维问题。 二、物体内速度变化的规律

? 温度变化最慢的点位于物体的体心或形心；

? 温度变化最快的点位于离物体的体心或形心最远处。