一阶微分方程的初等解法及其应用

一阶微分方程的初等解法及其应用

摘 要:本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中.用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解.

关键词:变量分离方程;恰当微分方程;常数变易法;积分因子.

The Solution of First-order Differential Equations

Abstract:This article focuses on the solution of first-order differential equations and its several applications,through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice,From the abstract into concrete laws,so as to enhance the understanding of the knowledge.

Keywords:separable equations;exact equations;constant variation;integrating factor.

引言

一阶微分方程的解法与很多,而且技巧性也很强,本文仅介绍了一些简单的方法和其应用.如变量变换法,常数变易法,恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.

1.变量分离法

1.1变量分离方程的解法 形如

dydx?f(x)?(y) （1）

的方程,称为变量分离方程,这里f(x),?(y)分别是x,y的连续函数.

如果?(y)?0,我们可将（1）改写成

dy?f(x)dx,

?(y) 1

这样,变量就\分离\开来了.两边积分,得到

??(y)??这里我们把积分常数c明确写出来,而把?dydyf(x)dx?c. （2）

?(y),?f(x)dx分别理解为

1?(y),f(x)的原

函数.常数c的取值必须保证（2）有意义,如无特别声明,以后也作这样理解.

把（2）理解为

y,x,c的隐函数关系式?(y,x,c)?0或

y的

x,c函数关系式

y?y(x,c).微分（2）两边,知对任意常数c,由（2）所确定的函数关系式y?y(x,c)满

足（1）,因而（2）是（1）的通解.

因（2）式不适合?(y)?0的情形.但如果存在y0使?(y0)?0,则直接验证知y?y0也是（1）的解.因此,还必须寻求?(y)?0的解y0,当y?y0不包括在方程的通解（2）中时,必须补上特解y?y0. 1.2变量分离法的应用

例1 求一曲线族,使它的切线介于坐标轴的部分被切点分成相等的两部分. 解 设所求的曲线方程为y?y(x),过曲线上任一点P(x,y)的切线交ox轴于A点,交oy轴于B点.由题意,?yxP为的AB中点,不妨设A(2x,0),B(0,2y),则切线的斜率为

dydxdydx,另一方面,曲线在P点的斜率为,因此

??yx,

将变量分离,得到

dyy??1xdx,

两边积分得

lny??lnx?c1.

因此方程的通解为xy?c,即得所求的曲线族为xy?c,这里c为任意常数.

2

1.3可化为变量分离方程的类型 这里只是介绍一种简单的情形. 形如

dydx?g(yx) （3）

的方程,称为齐次微分方程,这里g(u)是u的连续函数.

作变量变换

u?即y?ux,于是

yx （4）

dydx?xdudx?u （5）

将（4）,（5）代入（3）,则原方程变为

xdudx?u?g(u).

整理后,得到

dudx?g(u)?ux. （6）

方程（6）是一个变量分离方程.可按分离变量的方法求解,然后代回原来的变量,便得方程的解.

1.4可化为变量分离方程的一类方程的应用

例2 xy??y?xtanyx.

解 将方程改写成

dydx?yx?tanyx,

这是齐次方程.作变换y?xu,代入原方程得到

u?xdudx?u?tanu.

即

cotudu?dxx(sinu?0).

两边积分得

3

sinu?cx,

代回原变量,得通解sinyx?cx.此外,方程还有解sinu?0,它包含在通解中.

2.线性微分方程与常数变易法

2.1常数变易法 一阶线性微分方程

dydx?P(x)y?Q(x) （7）

其中P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数.若Q(x)?0,（7）变为

dydx?P(x)y,

（8）

（8）称为一阶齐次线性微分方程.若Q(x)?0,(7)称为一阶非齐次线性微分方程.（8）是变量分离方程,它的通解为

?y?ce

P(x)dx (9)

这里c是任意常数.

现在讨论非齐次线性微分方程(7)通解的求法.

不难看出,(8)是(7)的特殊情形,可以设想:在(9)中,将常数c变易为x的待定函 数c?x?.令

y?c(x)e?P(x)dx ?10?

微分之,得到

dy?dc(x)dxe?P(x)dx dx?c(x)p(x)e?P(x)dx (11)

(10),(11)代入(7),得

dc(x)dxe?P(x)dx?c(x)p(x)e?P(x)dx?c(x)p(x)e?P(x)dx?q(x),

即

dc(x)dx?q(x)e??P(x)dx,

积分后得到

c(x)?

?e??P(x)dx?, q(x)dx?c4

?是任意常数.将上式代入(10),得到方程(7)的通解 这里c??P(x)dxP(x)dx??). (12) y?e(?eq(x)dx?c这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换的方法,通过变换(10)可将方程(7)化为变量分离方程.

若方程不能化为(7)形式,可以将x看作是y的函数,再看是否为(7)形式. 2.2常数变易法的应用 例3

dydx??2xy?4x.

dydx?2xy?0解 首先求线性齐次方程的通解.分离变量得

dyy??2xdx(y?0).

两边积分,化简后得到

y?ce?x2.

再应用常数变易法求线性非齐次方程的通解,为此在上式中把常数c变易成待定函数

c(x).令

y?c(x)e?x2.

代入原方程,得到

c?(x)e?x2?2xc(x)e?x2??2xc(x)e?x2?4x,

化简得

c?(x)e?x2?4x,

上式两边积分得

c(x)?2ex2?c,

于是原方程的通解为

y?ce?x2?2.

3.恰当微分方程与积分因子

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