数学建模实验报告实验六

《国土面积计算的研究方案》

实验报告

实验项目：插值与拟合问题

实验地点：实验室名称：

学院：管理科学与工程学院年级专业班：工程管理111

学生姓名：刘继壮学号： 11062110

完成时间：2013-04-20 教师评语：

开课时间：至学年第学期

成绩

教师签名

批阅日期

国土面积计算的研究方案

1 问题重述

已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积和边界长度，首先对地图作如下

测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边

界点到最东边界点在x 轴上的区间适当地分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界

点和北边界点的y 坐标1y 和2y ，这样就得到了表8的数据（单位：mm ）。 表8 某国国土地图边界测量值（单位：mm ）

x

7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 1y 44 45 47 50 50 38 30 30 34

2y 44 59 70 72 93 100 110 110 110

x 61.0

68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 1y 36 34 41 45 46 43 37 33 28

2y 117 118 116 118 118 121 124 121 121

x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 1y 32 65 55 54 52 50 66 66 68

2y 121 122 116 83 81 82 86 85 68

根据地图的比例我们知道1mm 相当于4km 。请你研究如下三个问题：

（1）直接进行数值积分求该国边界的近似长度和国土的近似面积。

（2）先对边界进行三次样条插值，再计算该国边界的近似长度和国土的近 似面积。

（3）对（1）和（2）的计算结果进行比较。

2 模型的建立与求解

解： 假设测量的地图和数据准确，由最西边界点与最东边界点分为上下两条连续的边

界曲线，边界内的所有土地均为该国国土。假设从最西边界点到最东边界点，变量

[]b a x ,∈，

划分[]b a x ,∈为n 小段[]i i x x ,1-，并由此将国土分为n 小块，设每一小块均为X 型区域。即做垂直于x 轴的直线穿过该区域，直线与边界曲线最多只有两个交点。

利用数值积分法将上边界点与下边界点分别利用插值函数求出两条曲线，则曲线所

围成面积即为国土面积（地图上的国土面积），然后根据比例缩放关系求出国土面积的

近似解。

设上边界函数为()x f 2，下边界函数为()x f 1，由定积分定义可知曲线所围区域面积

为

()()i

n i i i n b a x f f dx x f ?-=∑?=+∞→112)]([lim εε

式中，],[1i i i x x -∈ε

利用软件求得的图形为：

020*********

1201401602040

60

80100120

140

东西距离(单位:mm)南北距离(单位:m m )国土面积计算——三次插值(比例尺为1:4000000)

某国家国土区域插值边界

参考文献

[1]《运筹学》教材编写组，运筹学（修订版），北京：清华大学出版社，1990。

[2] 谢金星，薛毅编著，优化建模与LINDO/LINGO 软件，北京：清华大学出版社，2005。 附录

根据测量数据利用Matlab 软件对上下边界进行三次多项式插值，程序如下： clc,clear

x=[7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];

y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];

y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86 85 68];

newx=7:0.1:158;

l=length(newx);

newy1=interp1(x,y1,newx,'linear');

newy2=interp1(x,y2,newx,'linear');

Area=sum(newy2-newy1)*0.1/1^2*16

fill([newx newx(l-1:-1:2)],[newy1 newy2(l-1:-1:2)],'green')

hold on

plot([x,x],[y1,y2],'r*')

xlabel('东西距离(单位:mm)'),ylabel('南北距离(单位:mm)')

title('国土面积计算——三次插值(比例尺为1:4000000)')

运行结果：

Area =

1.3742e+05