2020届高考一轮复习理科数学(人教版)练习：第10讲 对数与对数函

第10讲 对数与对数函数

1．已知log 12b ＜l og 12a ＜log 12

c ，则(A)

A ．2b ＞2a ＞2c

B ．2a ＞2b ＞2c

C ．2c ＞2b ＞2a

D ．2c ＞2a ＞2b

因为函数y ＝log 12

x 在(0，＋∞)上是单调递减函数，

所以b >a >c >0.

又因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以2b >2a >2c .

2．(2016·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b

的值为(C) A ．36 B ．72

C ．108 D.172

设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k

2k －2·3k －3

＝108. 3．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为(C)

A ．a ＜b ＜c

B ．a ＜c ＜b

C ．c ＜a ＜b

D ．c ＜b ＜a

由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，

所以f (x )＝2|x |－1.

所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，

b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，

c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c

4. (2018·广州二模)已知函数f (x )＝e x ＋ x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是(C)

A ．e a ＋ ln b > 2

B ．e a ＋ ln b < 2

C ．a 2＋b 2<3

D ．ab >1

f (x )＝e x ＋ x －2＝0?e x ＝2－x ，

g (x )＝ln x ＋x －2＝0?ln x ＝2－x .

所以零点a ，b 可看y ＝e x 与y ＝2－x 及y ＝ln x 与y ＝2－x 交点的横坐标(如图)．

可知(a ，e a )与(b ，ln b )关于点(1，1)对称，

所以e a

＋ln b ＝2，且a ＋b ＝2，从而ab ≤(a ＋b 2)2＝1. 由此可排除A ，B ，D ，选C .

5．(2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52

，a b ＝b a ，则a ＝ 4 ，b ＝ 2 先求出对数值，再利用指数相等列方程求解．

因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52

， 所以log a b ＝2或12

. 因为a ＞b ＞1，所以log a b ＜log a a ＝1，

所以log a b ＝12

，所以a ＝b 2. 因为a b ＝b a ，所以(b 2)b ＝bb 2，所以b 2b ＝bb 2，

所以2b ＝b 2，所以b ＝2(b ＝0舍去)，所以a ＝4.

6．(2018·安徽安庆期中)关于函数f (x )＝lg x 2＋1x

，有下列结论： ①函数f (x )的定义域为(0，＋∞)；

②函数f (x )是奇函数；

③函数f (x )的最小值为lg 2；

④当x >0时，函数f (x )是增函数．

其中正确结论的序号是 ①③ (写出所有你认为正确的结论的序号)．

f (x )＝l

g x 2＋1x

的定义域为(0，＋∞)，其为非奇非偶函数，即①正确，②不正确； 由f (x )＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x )≥lg(2x ·1x

)＝lg 2，得③正确； 函数u ＝x ＋1x

在(0,1)为减函数，在(1，＋∞)为增函数，又函数y ＝lg u 为增函数，所以函数f (x )在(0,1)为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，即得④不正确．

所以正确的序号是①③.

7．已知f (x )＝log 4(4x －1)．

(1)求f (x )的定义域；

(2)讨论f (x )的单调性；

(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．

(1)由4x －1>0，解得x >0，

所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．

(2)设0

(3)因为f (x )在[12，2]上递增， 又f (12

)＝0，f (2)＝log 415. 所以f (x )在区间[12

，2]上的值域为[0，log 415]．

8．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则(B)

A ．a ＋b ＜ab ＜0

B ．ab ＜a ＋b ＜0

C ．a ＋b ＜0＜ab

D ．ab ＜0＜a ＋b

因为a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3＜log 21＝0， 所以ab ＜0.

因为a ＋b ab ＝1a ＋1b

＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， 所以1＝log 0.30.3＞log 0.30.4＞log 0.31＝0，

所以0＜a ＋b ab

＜1，所以ab ＜a ＋b ＜0. 9．(2018·华南师大附中模拟)已知函数f (x )＝?????|log 2

x|，0

， x ≥2，若0

的取值范围为__(1，2)__． 画出f (x )的图象，如图：

由0

02.

所以－log 2a ＝log 2b ，所以ab ＝1.f (c )＝c ＋22c ， 所以ab f （c ）＝1c ＋22c ＝2c

c ＋2＝2[（c ＋2）－2]c ＋2＝2(1－2c ＋2

)， 可知上述关于c 的函数在(2，＋∞)单调递增， 注意c >2，得ab

f （c ）∈(1，2)． 10．已知f (x )＝lo

g a x (a >0，且a ≠1)，如果对于任意x ∈[13

，2]都有|f (x )|≤1成立，求a 的取值范围．

由已知f (x )＝log a x ，

当0

|f (13)|－|f (2)|＝log a 13＋log a 2＝log a 23

>0， 当a >1时，

|f (13)|－|f (2)|＝－log a 13－log a 2＝－log a 23

>0， 故|f (13

)|>|f (2)|总成立， 要使x ∈[13

，2]时恒有|f (x )|≤1， 只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13

≤1， 即log a a －1≤log a 13

≤log a a . 当a >1时，得a －1≤13≤a ，得a ≥3；

当0

. 综上所述，a 的取值范围是(0，13

]∪[3，＋∞)．

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