高中数学3.3.3函数的最大(小)值与导数教案新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.3.3函数的最大（小） 值

与导数教案 新人教A 版选修

1-1

（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤

教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

教学过程：

一．创设情景

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x 是函数()y f x =的极大（小）值点，那么在点0x 附近找不到比()0f x 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x 是函数的最大（小）值，那么()0f x 不小（大）于函数()y f x =在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授

观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)

(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大

值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．

1．结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．

说明：⑴如果在某一区间上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()y f x =在这个区间上连续．（可以不给学生讲）

⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x

x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，

⑷函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非

必要条件．（可以不给学生讲）

2．“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3．利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

三．典例分析

例1．（课本例5）求()31443

f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值 解： 由例4可知，在[]0,3上，当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3

f =-

，又由于()04f =，()31f = 因此，函数()31443f x x x =

-+在[]0,3的最大值是4，最小值是43

-． 上述结论可以从函数()31443

f x x x =-+在[]0,3上的图象得到直观验证． 例2．求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值 解：先求导数，得x x y 443/-=

令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x

导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表

X -2 （-2,-1） -1 （-1,0） 0 （0,1）

1 （1,2）

2 y / － 0 ＋ 0 － 0 ＋

y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13

从上表知，当2±=x 时，函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4

例3．已知23()log x ax b f x x

++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.

解：设g (x )=x

b ax x ++2 ∵f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数

∴g (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.

∴???==3)1(0)1('g g ∴?

??=++=-3101b a b 解得???==11b a 经检验，a =1,b =1时，f (x )满足题设的两个条件.

四．课堂练习

1．下列说法正确的是( )

A.函数的极大值就是函数的最大值

B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值

D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2．函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( )

A.等于0

B.大于0

C.小于0

D.以上都有可能 3．函数y =2342

13141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－1 D.12

13 4．求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值． 5．课本 练习

五．回顾总结

1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

2．函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

3．闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，

4．利用导数求函数的最值方法．