2010年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《立体几何》大专题

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2009年江西省芦溪中学高三数学复习(二轮)《立体几何》大专题

(学生强化专版)

一、专题热点透析

高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。

二、热点题型范例 题型一、平行与垂直的证明

例1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F . （1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD

例2．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知

45ABC ∠=?，2AB =

，BC =

SA SB ==

（Ⅰ）证明：SA BC ⊥；

（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．

A C

D

B

C

A

S

O

E

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变式：

已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90

底面ABCD ，且PA =AD =DC =

2

1

AB =1，M 是PB 的中点. （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.

题型二、空间角与距离

例3．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4

ABC π

∠=

，

OA ABCD ⊥底面， 2OA =，M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

例4. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.

A

D

C

B

N

M E

P

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变式：

如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =

． （1）求证：11B C ⊥面OAH ；

（2）求二面角111O A B C --的大小．

题型三、探索性问题

例5.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．

（1）求证：//EF 平面PAD ；

（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，

⊥EF 平面PCD ？

1C 1A

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变式：

如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD

BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形

(1)求证：AD ⊥BC

(2)求二面角B －AC －D 的大小

(3)在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30?角？若存

在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.

题型四、折叠、展开问题

例6．已知正方形ABCD E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将ADE 沿DE 折起，如图所示，记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<

(1) 证明//BF 平面ADE ；

(2)若ACD 为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。

D

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P

A

B

C

D

D

A

B

C

变式：

如图，在直角梯形P 1DCB 中，P 1D ∥CB ，CD ⊥P 1D ，P 1D ＝6，BC ＝3，DC ＝6，A 是P 1D 的中点，E 是线段AB 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面P AB 的位置，使二面角P －CD －B 成45°角．

（Ⅰ）求证：P A ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面PEC 和平面P AD 所成的锐二面角的大小．

题型五、多面体的组合问题

例7．P ABCD -是正四棱锥，1111ABCD A B C D -

是正方体，其中2,AB PA ==

（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；

（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．

A D

C

E P

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变式：

如图4，已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高分别为1和2，AB =4. (Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ；

(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角； (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.

题型六、表面积与体积问题

例8．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==

，2AB DC ==

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．

图4

A

B

C

M

P

D

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变式：

正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．

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