2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研核心题库

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目录

2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研核心题库（一） (2)

2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研核心题库（二） (6)

2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研核心题库（三） (12)

2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研核心题库（四） (21)

2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研核心题库（五） (26)

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第 2 页，共 31 页 2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研核心题库（一）

说明：本套核心题库按照考试大纲、历年真题、指定参考书等结合考试侧重点和难度，精心整理编写。核心题库更突出针对性和实战性，考研冲刺必备资料。

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一、填空题

1． 设A 是4X3矩阵，且A 的秩而则_______

【答案】2 【解析】

是可逆阵，

2． 设矩阵

则A 3的秩为_____ 【答案】

【解析】由

可知秩为

3． 设

则之秩S 与

之秩t 的关系是_____. 【答案】

【解析】由已知等式可知可由线性表示. 将这些等式统统相加有

所以

① 将①式两端分别减去得

此即可由线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，

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4． 多项式

除以所得余式为_____..

【答案】

.

【解析】设

将代入上式，得

由商式和余式的惟一性即得.

二、计算题

5． 已知向量组

与向量组

具有相同的秩，且可由

线性表示，求a ,b 的值.

【答案】由知

.线性相关.

但

线性无关

.即

线性相关，于是

①

其次，可由线性表示是的一个极大线性无关组，所以可由线

性表示，故

线性相关.从而

将代入①，得

6． 设A 是数域P 上的,2阶幂等矩阵（即,.）,

分别是

与

的解空间,

证明:

【答案】

则

因为

所以

于是

故

,

则

于是

那么故

7． 假设

与

为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且整除

试求

与

的最大公因式.

【答案】设6次单位根分别为

由于

所以

是

的4个根.

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由于且所以，分别将代入可得

从而

即x+1是与的一个公因式.

同理，将代入可得

即x-1是

与的一个公因式.

所以是

与的一个公因式.

又因为为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以

8．设复矩阵

问矩阵A 可能有什么样的若当标准形?并求A

相似于对角阵的充要条件.

【答案】计算可得所以A

的特征值为

因此A的若当标准形有如下两种（不计若当块的次序）

A相似于对角阵有不变因子

但有二阶子式

即证A相似于对角阵

9

．设

是线性空间V的t个非平凡子空间

,证明:V

中至少有一个向量不属于

中任一个.

【答案】对子空间的个数t归纳.时

,因为

是V的非平凡子空间,所以存在.如

则即为所求；又如果,则为所求,否则,便有