新版高考数学(文)黄金易错点：专题10数列求和及其应用(含答案)

专题10 数列求和及其应用

高考数学（文）备考学易黄金易错点

1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋22n n n ＋1

，其前n 项和为S n ，若存在M ∈Z ，满足对任意的n ∈N *，都有S n

解析 因为a n ＝n ＋22n n n ＋1＝2n ＋1－n 2n n n ＋1＝12n －1n －12n n ＋1

， 所以S n ＝(120×1－121×2)＋(121×2－122×3)＋…＋12n －1n －12n n ＋1] ＝1－12n n ＋1

， 由于1－12n n ＋1<1，所以M 的最小值为1. 2．设向量a ＝(1,2)，b ＝(1n 2＋n

，a n ) (n ∈N *)，若a ∥b ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为________．

答案 1

3．已知{a n }是一个公差d 大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋n 2，求数列{b n }的前n 项和S n .

解 (1)∵a 3＋a 5＝a 2＋a 6＝14，a 3a 5＝45，

∴a 3＝5，a 5＝9或a 3＝9，a 5＝5，

∵d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，

∴?????

a 3＝a 1＋2d ＝5，a 5＝a 1＋4d ＝9?a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝2n －1.

(2)由b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋n 2，

得b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝2n －1＋n 2，

b 12＋b 222＋…＋b n －12

n －1＝2(n －1)－1＋(n －1)2 (n ≥2)， 两式相减得b n 2n ＝2n ＋1，

∴b n ＝2n (2n ＋1)(n ≥2)，

又b 12＝a 1＋1，∴b 1＝4，

∴b n ＝????? 2n 2n ＋1，n ≥2，4，n ＝1.

记T n ＝b 2＋b 3＋…＋b n ，

则T n ＝22×5＋23×7＋…＋2n (2n ＋1)，

2T n ＝23×5＋24×7＋…＋2n ＋

1(2n ＋1)， 两式相减得－T n ＝4＋2n ＋

1(1－2n )， 则T n ＝2n ＋

1(2n －1)－4， ∴S n ＝2n ＋

1(2n －1)． 4．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且4a 3是a 1与2a 2的等差中项．

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n ＋1a n

，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)，所以a 1＝a ，

当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)，①

S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，②

由①－②，得a n ＝a ·a n －1，即a n a n －1

＝a ， 故{a n }是首项a 1＝a ，公比为a 的等比数列，

所以a n ＝a ·a n －

1＝a n . 故a 2＝a 2，a 3＝a 3.

由4a 3是a 1与2a 2的等差中项，可得8a 3＝a 1＋2a 2， 即8a 3＝a ＋2a 2，

因为a ≠0，整理得8a 2－2a －1＝0，

即(2a －1)(4a ＋1)＝0，

解得a ＝12或a ＝－14(舍去)，

故a n ＝(12)n ＝12n

.

5．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝lg a n ]，其中x ]表示不超过x 的最大整数，如0.9]＝0，lg 99]＝1.

(1)求b 1，b 11，b 101；

(2)求数列{b n }的前1000项和．

解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28， 解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .

b 1＝lg 1]＝0，b 11＝lg 11]＝1，b 101＝lg 101]＝2.

(2)因为b n ＝????? 0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1000，3，n ＝1000，

所以数列{b n }的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.

6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.