高考数学一轮复习 11.1 抽样方法与总体分布的估计考点及自测 理

第1讲抽样方法与总体分布的估计

【2014年高考会这样考】

1．考查三种抽样方法及其应用．

2．考查频率分布直方图中的相关计算(求解频率、频数等)．

3．考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征(平均数、方差、标准差等)．

对应学生

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考点梳理

1．三种抽样方法的比较

2.频率分布直方图与茎叶图

(1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为频率分布表．绘制频率分布表的步骤为：①求极差；②决定组距和组数；③将数据分组；④列频率分布表．

(2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率分布直方图．画频率分布直方图的一般步骤是：①绘制频率分布表；②作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它

的高等于该组的

频率组距

.此时，每个矩形的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积之和为1. 3．样本的数字特征

(1)众数

在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

(2)中位数

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

(3)平均数

样本数据的算术平均数，即x ＝1n

(x 1＋x 2＋…＋x n )． (4)方差与标准差

方差：s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． 标准差：s ＝ 1n x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2].

【助学·微博】

一条规律 三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体的个体数为N ，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是n N .

两个特性

(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于1；

(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1.

考点自测

1．(2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )．

A ．7

B ．9

C ．10

D ．15

解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由

451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710

，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C.

答案 C

2．(2013·临沂模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是( )．

A ．30,30,30

B ．30,45,15

C ．20,30,10

D ．30,50,10

解析 抽取比例是903 600＋5 400＋1 800＝1120，故三校分别抽取的学生人数为3 600×1120

＝30,5 400×1120＝45,1 800×1120

＝15. 答案 B

3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是( )．

A ．14

B ．16

C ．15

D ．17

解析 将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为15＋152

＝15.

答案 C

4．(2013·西北工大附中测试)如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[6,10)内的频数为( )．

A ．12

B ．48

C ．60

D ．80

解析 落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，故频数为0.32×150＝48.

答案 B

5．(2013·长沙模拟)

如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

(注：方差s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)

解析 x ＝15(8＋9＋10＋13＋15)＝11，s 2＝15

×(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8. 答案 6.8

考向一 抽样方法

【例1】?从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．

[审题视点] 因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体．

解 由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：

第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；

第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k ＝80080

＝10个个体；

第三步：从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号(如

5)作为起始编号；

第四步：从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．

解决系统抽样问题的两个关键步骤为：

(1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本．

(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

【训练1】 (2012·天津)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．

解析 根据分层抽样的特点求解．从小学中抽取30×150150＋75＋25

＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．

答案 18 9

考向二 频率分布直方图的绘制及应用

【例2】?某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

续表

(1)补全频率分布直方图； (2)求n ，a ，p 的值．

[审题视点] (1)要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率；(2)灵活运用关系式：频率组距×组距＝频率，频数样本容量

＝频率求解．

解 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以小长方形的高为0.3

5

＝0.06.频率分布直方图如图所示．

(2)第一组的人数为1200.6

＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2

＝1 000. 由(1)知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300

＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.

(1)绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后可以利用各组的频率

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