山东省潍坊市2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷

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1 理 科 数 学

2017．11

本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分。考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、学校、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．

3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

第I 卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={}21x x -<<，B={}23x x x -<0，那么A ∪B=

A ．{}2x x -<<3

B ．{}1x x 0<<

C ．{}2x x -<<0

D ．{}

x x 1<<3 2．已知x >y >0，则

A ．11x y

->0 B ．cos cos 0x y -> C ．11022x y ????-> ? ????? D ．ln ln 0x y ->

3．函数()4x f x e x =-

的零点所在区间为 A ．10e ?

? ???， B ．1,1e ??

??? C ．()1，2 D ．()2e ，

4．下列函数为奇函数且在()0+∞，上为减函数的是

A

．)ln

y x = B ．122x x y =- C ．1y x x =+ D

．y =5．在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边关于x 轴对称，已知3sin 5

α=，则cos β=

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 2 A ．35 B ．45- C ．3

5± D ．45

± 6．已知,x y R ∈，且41010y x y x y ≤??-+≤??+-≥?

，则2z x y =+的最小值为

A ．4-

B ．2-

C ．2

D ．4

7．某几何体的三视图如图所示，已知主视图和左视图是全等的直角三角形，俯视图为圆心角为90°的扇形，则该几何体的体积是

A ．2π

B ．3π

C ．3π

D ．2π

8．已知函数()2sin 3f x x π??=+ ??

?，以下结论错误的是 A ．函数()y f x =的图象关于直线6

x π

=对称 B ．函数()y f x =的图象关于点203π??

???，

对称 C ．函数()y f x π=+在区间5

66ππ??- ???

，上单调递增 D ．在直线1y =与曲线()y f x =的交点中，两交点间距离的最小值为2

π 9．函数y x a =+与()01x xa y a a x =>≠且在同一坐标系中的图象可能为

10．()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ?∈，均有()()2f x f x +=，已知当[)0,1x ∈时，

()=21x f x -，则下列结论正确的是

A ．()f x 的图象关于1x =对称

B ．()f x 有最大值1

C ．()f x 在[]13-，上有5个零点

D ．当[]2,3x ∈时，()1=21x f x --

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 3 11．在三棱锥P —ABC 中，AP=AC=2，PB=1，BP ⊥BC ，∠BPC=3π，则该三棱锥外接球的表面积是

A ．2π

B ．3π

C ．4π

D ．9

2

π 12．锐角三角形ABC 中，∠A=30°，BC=1，则?ABC 面积的取值范围为

A. 3132??+ ?

??， B. 3132??+ ? ??， C. 33?? ? ??， D. 3134??+ ? ??

， 第II 卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．()()cos ,04

2,0x x f x f x x π?

，则()2017f =_______. 14．已知单位向量(),a x y =，向量()

1,3b =，且0,60a b =，则y =___________. 15．已知3π

α0<<，25sin 65πα?

?+= ???，则cos 26πα??- ??

?=__________．

16．右图所示，直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上任意

一点，F 为底面A 1C 1(除C 1外)上一点，已知，在底面AC 上的射影为

H ，若再增加一个条件，就能得到CH ⊥AD ，现给出以下条件：

①EF ⊥B 1C 1；②F 在B 1D 1上；③EF ⊥平面AB 1C 1D ；④直线FH 和EF 在

平面AB 1C 1D 的射影为同一条直线．其中一定能成为增加条件的是

____________(把你认为正确的都填上)。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．(本小题满分10分)

已知集合3A=01x x x ?-?>??+??，集合(){}

22B=2120x x m x m m -+++-<，p ：A x ∈，q ：B x ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．

18．(本小题满分12分)

?ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b 、c ，b=c=3，D 为BC 边上靠近C 点的三等分点．记向量()()1,sin ,1,3cos p A q A ==-，且//p q ．

(I)求线段AD 的长；

(Ⅱ)设AB ,AD=m n =，若存在正实数k ，t ，使向量()

23m t n ++与向量3km tn -+垂直，

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 4 求22k t t +的最小值．

19．(本小题满分12分)

已知函数()()2cos 22sin 064f x x x ππωωω?

???=-++> ? ?????在23ππ??????

，上具有单词性，且316f π??=+ ???

. (I)求()f x 的最小正周期T ；

(Ⅱ)将函数()f x 的图象向右平移

4π单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 在44ππ??-????

，上的最大值和最小值．

20．(本小题满分12分)

如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=AA 1=2，∠A 1AB=60°．

(I)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC ；

(Ⅱ)若四棱锥A —BCC 1B 1的体积为23，求二面角B 1—CA 1—A 的余弦值．

21．(本小题满分12分)

现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形ABCD ．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域(图中阴影部分)为产品做广告，形状为直角梯形DEFG(点F 在曲线段AC 上，点E 在线段AD 上)．已知BC=12m ，AB=AD=6m ，其中曲线段AC 是以A 为顶点，AD 为对称轴的抛物线的一部分．

(I)求线段AD ，线段DC ，曲线段CA 所围成区域的面积；

(Ⅱ)求厂家广告区域DEFG 的最大面积．

22．(本小题满分12分)

设函数()()()ln x x f x g x x x f x e

==-，． (I)求函数()y f x =的最大值；

(Ⅱ)判断函数()y g x =零点的个数，并说明理由；

(III)记函数()y g x =在()1+∞，的零点为0x ，设()()min ,ln ,1,x x h x x x x e ??=∈+∞????

，其中

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5 min{p ，q }表示p ，q 中的较小者．若在区间(1，+∞)上存在a ，b 使()()h a h b =且a ＜b ，证明：02a b x +>．