高考学案：对数与对数函数

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对数与对数函数

1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：

①log a (MN )＝

log

a M ＋log a N ；

②log a M N

＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．

(2)对数的性质

①log a N a ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0，且a ≠1)．

(3)对数的换底公式

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log a b ＝log c b log c a

(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)． 3．对数函数的图象与性质

(1)(0，＋∞)

4.反函数

指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．

知识拓展

1．换底公式的两个重要结论

(1)log a b ＝1log b a

； (2)log m n a b ＝n m log a

b . 其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R .

2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

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(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )

(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )

(3)函数y ＝ln 1＋x 1－x

与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ ) (4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，???

?1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )

题组二 教材改编

2．[P74T3]lg 427

－23lg8＋lg 75＝________. 答案 12

解析 原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5 ＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12

. 3．[P82A 组T6]已知a ＝132

-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 c >a >b

解析 ∵0

21log 3

＝log 23>1. ∴c >a >b .

4．[P74A 组T7]函数

y ______．

答案 ????12，1

解析 由23

log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.

∴12

y ????12，1.

题组三 易错自纠

5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )

A ．d ＝ac

B ．a ＝cd

C ．c ＝ad

D ．d ＝a ＋c

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答案 B

6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是

( )

A ．a >1，c >1

B ．a >1,0

C ．01

D ．0

答案 D

解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0

7．若log a 34

<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________． 答案 ???

?0，34∪(1，＋∞) 解析 当0

； 当a >1时，log a 34

1. ∴实数a 的取值范围是????0，34∪(1，＋∞)．

题型一 对数的运算

1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b

＝2，则m 等于( ) A.10

B ．10

C ．20

D ．100 答案 A

解析 由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，

则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.

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解得m ＝10.

2．计算：????lg 14－lg 25÷1

2100-＝________. 答案 －20

解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×1

2

100-＝lg ????122×52×10 ＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64

＝________. 答案 1

解析 原式

＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64

＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2

log 64

＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62

＝1. 思维升华 对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

题型二 对数函数的图象及应用

典例 (1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

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答案 B

解析 由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝????13x ，

显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故选B.

(2)当0

时，4x

?22，1 C ．(1，2)

D ．(2，2)

答案 B 解析 由题意得，当0

时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．

又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点????12，2.把点????12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22

.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需

221时，不符合题意，舍去．

所以实数a 的取值范围是??

??22，1. 引申探究

若本例(2)变为方程4x ＝log a x 在????0，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．

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解析 若方程4x ＝log a x 在????0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在???

?0，12上有交点， 由图象知?????

0

解得0

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )

答案 C

解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.

(2)(优质试题·衡水调研)已知函数f (x )＝?????

log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．

答案 (1，＋∞)

解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．

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由图可知，当a >1时，直线y ＝－ …… 此处隐藏：6693字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……