几种常见的微分方程简介,解法

第十二章：微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=

5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。

教学重点：

1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=

3、二阶常系数齐次线性微分方程；

4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

教学难点：

1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

4、欧拉方程 §12 1 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律

性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中

往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有

要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后

对它

进行研究

找出未知函数来

这就是解微分方程

几个概念

微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程

常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程

叫偏微分方程

微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶

x 3 y x 2 y

4xy 3x 2 y (4) 4y 10y

12y

5y sin2x

y (n ) 10 一般n 阶微分方程 F (x y y

y (n ) )0 y (n )f (x y y

y (n

1) )

微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该

微分方程的解 确切地说 设函数y (x )在区间I 上有n 阶连续导数 如果在区间I 上

F [x (x )

(x )

(n ) (x )]

0 那么函数y (x )就叫做微分方程F (x y y

y (n ) )0在区间I 上的解

通解

如果微分方程的解中含有任意常数

且任意常数的个数与微分方程的阶数相同

这样的解叫做微分方程的通解

初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 x x 0 时 y y 0 y

y

一般写成

00y y x x == 0

0y y x x '='=

特解 确定了通解中的任意常数以后

就得到微分方程的特解

即不含任意常数的解

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程y

f (x

y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题

记为

???=='=00),(y y y x f y x x

积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线

例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M (x y )处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程

解 设所求曲线的方程为y y (x ) 根据导数的几何意义

可知未知函数y y (x )应满足关系式(称为微分方程)

x dx dy 2= (1) 此外 未知函数y y (x )还应满足下列条件

x 1时 y 2 简记为y |x 12 (2)

把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)

?=xdx

y 2 即y x 2C (3) 其中C 是任意常数

把条件“x 1时

y 2”代入(3)式 得 212C

由此定出C 1 把C 1代入(3)式

得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x 12的

解)

y x 21 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s 2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程 解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米

根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数s s (t )应满足关系式

4.022-=dt s d (4)

此外 未知函数s s (t )还应满足下列条件

t 0时 s 0 20==dt ds v 简记为s |t 0=0 s |t 0=20 (5) 把(4)式两端积分一次 得

14.0C t dt ds v +-== (6)

再积分一次

得 s 02t 2 C 1t C 2 (7)

这里C 1 C 2都是任意常数

把条件v |t 020代入(6)得

20C 1

把条件s |t 00代入(7)得0C 2

把C 1 C 2的值代入(6)及(7)式得

v 04t 20 (8) s 02t 220t (9) 在(8)式中令v 0

得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504.020==t (s ) 再把t 50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s

025*********(m )

解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米 s

04 并且s |t 0=0 s |t 0=20 把等式s

04两端积分一次 得 s

04t C 1 即v 04t C 1(C 1是任意常数) 再积分一次

得 s

02t 2 C 1t C 2 (C 1 C 2都C 1是任意常数) 由v |t

020得20C 1 于是v 04t 20 由s |t 00得0C 2 于是s

02t 220t 令v 0

得t 50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程 s 025*********(m ) 例3 验证 函数

x C 1cos kt C 2 sin kt

是微分方程

0222=+x k dt x d 的解

解 求所给函数的导数

kt kC kt kC dt dx cos sin 21+-=

)sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--= 将2

2dt x d 及x 的表达式代入所给方程 得 k 2(C 1cos kt C 2sin kt ) k 2(C 1cos kt C 2sin kt )0

这表明函数x C 1cos kt C 2sin kt 满足方程

022

2=+x k dt x d 因此所给函数是所给方程的解 例4 已知函数x C 1cos kt C 2sin kt (k 0)是微分方程0222=+x k dt x d 的通解 求满足初始条件

x | t

0 A x | t 0 0 的特解

解 由条件x | t 0 A 及x C 1 cos kt C 2 sin kt 得 C 1A

再由条件x | t

0 0 及x (t ) kC 1sin kt kC 2cos …… 此处隐藏：11898字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……