高中数学课时分层作业5全称量词与存在量词含解析新人教A版选修21

∴p ∧q 为假命题，p ∧?q 为真命题，?p ∧q 为假命题，?p ∧?q 为假命题．故选B.]

二、填空题

6．下列命题：

①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

其中是全称命题的为________，是特称命题的为____________．

(填序号)

②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]

7．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是____________________．

有些偶函数的图象关于y 轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y 轴不对称”．]

8．已知命题：“

x 0∈[1，2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．

[－8，＋∞) [当x ∈[1，2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，∴3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，

∴a ≥－8.]

三、解答题

9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：

(1)α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；

(2)x 0，y 0∈Z ，3x 0－4y 0＝20；

(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；

(4)正数的绝对值是它本身．

[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.

(2)真命题．命题的否定为：x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20.

(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．

(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．

10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2

＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．

[解] 法一：由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1，2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0或4＋4a ＋2－a >0.

整理得a >－3或a >－2.

即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)． 法二：?p ：x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解，

令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，

则?????f （1）≤0，f （2）≤0，即?????1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0. 解得a ≤－3.

故命题p 中，a >－3.

即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．

[能力提升练]

1．已知命题p ：对任意x ∈R ，都有cos x ≤1，则命题p 的否定为( )

A ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≤1

B ．对任意x ∈R ，都有cos x ＞1

C ．存在x 0∈R ，使得cos x 0＞1

D ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≥1

C [根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.]

2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )

A ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)

B ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)

C ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)

D ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)

C [f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ? ????x ＋b 2a 2

＋4ac －b 2

4a (a >0)， ∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b 2a

， 当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值，

∴x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．]

3．命题“n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为________．

n 0∈N *，f (n 0)

N *或f (n 0)>n 0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0”．]

4．命题p ：x 0∈[0，π]，使sin ?

????x 0＋π3

? ??

??－32，＋∞ [0≤x ≤π，则π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ? ????x ＋π3≤1；而命题p ：x ∈[0，π]，使sin ? ????x ＋π3－32

.] 5．已知命题p ：x ∈R ，x 2

＋(a －1)x ＋1≥0，命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0，若p 假q 真，求实数a 的取值范围．

[解] 因为命题p 是假命题，

所以命题?p ：x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题，则(a －1)2

－4>0， 解得a <－1或a >3.

因为命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0是真命题．

所以当a ＝0时，－3<0，不满足题意；

当a <0时，(－2a )2＋12a >0，所以a <－3.

当a >0时，函数y ＝ax 2－2ax －3的图象开口向上，一定存在满足条件的x 0，故a <－3或a >0.

综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．