【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习一模考前专项

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数学思想专项训练(一) 函数与方程思想

一、选择题

1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1]

B ．(－∞，－1)

C ．[－1，＋∞)

D ．(－1，＋∞) 解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．

2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪???

?－12，＋∞，则a 等于( )

A ．2

B ．－2

C ．－12 D.12

解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12

是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×????－12＝－1a

，所以a ＝－2，故选B.

- 2 - 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的

最大值为( )

A ．600

B ．500

C ．400

D ．200

解析：选B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992

d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋????13a 1＋S 1502≤10，即109

a 21＋S 225a 1＋????S 1502－10≤0有解，所以Δ＝????S 2252－4×109???????

?S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.

4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－2]

B ．[2，＋∞)

C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒

大于0，所以????? g (1)＞0，g (4)＞0，即?????

x －2＋(x －2)2＞0，4(x －2)＋(x －2)2＞0，解得x ＜－2或x ＞2. 5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29

＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且 OA ·

OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( ) A ．18

B ．15

C ．10 D.152

解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭

圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2

.又 OA · OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48(1＋k 2)x A ＝169＋25k 25(1＋k 2)＝165 9＋25k 2(1＋k 2)

2，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t ????t ＋16252＝165×25t t 2＋162＋32t ＝801t ＋162

t ＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725

时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.

6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7

＜－1，则( )

- 3 - A ．S n 的最大值是S 8

B ．S n 的最小值是S 8

C ．S n 的最大值是S 7

D ．S n 的最小值是S 7

解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2

，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7

＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.

二、填空题

7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x ]＝3，则f (3)＝________.

解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x ＋t ，

所以2t ＋t ＝3，易得方程2t ＋t ＝3有唯一解t ＝1，

所以f (x )＝2x ＋1，所以f (3)＝9.

答案：9

8．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为????1b ，1a ，则ab ＝________.

解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b

，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a ≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以??? f (a )＝2a －a 2＝1a ，f (b )＝2b －b 2＝1b ，解

得????? a ＝1，b ＝1＋52，

所以ab ＝1＋52. 由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，??? f (a )＝2a ＋a 2＝1a ，f (b )＝2b ＋b 2＝1b ，解得?????

b ＝－1，a ＝－1－52， 所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52. 答案：1＋52

9．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

- 4 - 解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e 5＝7，(a －7)2＋(b －7)2＋(c －7)2＋(d －7)2＋(e －7)25

＝4.设a －7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且?????

p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.

答案：10

10．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．

解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以????? f (a )＝b ，f (b )＝a ，即??? m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b ＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12

，而m ＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝????a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12

，所以－94

＜m ≤－2. 答案：???

?－94，－2 二、解答题

11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形

ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱

锥F -ABCD 的体积．

(1)求V (x )的表达式；

(2)求V (x )的最大值．

解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .

∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x .

∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，

S ?ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，

∴V (x )＝13S ?ABCD ·F A ＝23

x 4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23

－x 4

＋4x 2

- 5 - ＝23