2021中考数学 专题03 二次函数与相似问题(镇江27题扬州28题连云

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年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用）

专题03 二次函数与相似问题

【真题再现】

1．（2019年镇江第27题）如图，二次函数y ＝﹣x 2+4x +5图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数y =2

5x +1的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．

（1）点D 的坐标是 ；

（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得△DPQ 与△DAB 相似．

①当n =275时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似，请直接写出n 的取值范围 ．

2．（2018年扬州第28题）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．

（1）当t＝2时，线段PQ的中点坐标为；

（2）当△CBQ与△P AQ相似时，求t的值；

（3）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=

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2∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

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3．（2018年镇江第27题）如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O 为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．

（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；

（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．

①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）

②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；

③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，

与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．

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4．（2018年连云港第26题）如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；

（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标

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5．（2018年宿迁第27题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；

（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；

（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

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【专项突破】

【题组一】

1．（2019秋?江阴市期末）如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．

（1）求m的值；

（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；

（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

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2．（2019秋?张家港市期末）如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．

（1）求线段OC的长度；

（2）设直线BC与y轴交于点D，点C是BD的中点时，求直线BD和抛物线的解析式，

（3）在（2）的条件下，点P是直线BC下方抛物线上的一点，过P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BD于点F，是否存在一点P，使得PE+PF最大，若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．

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3．（2020?山西模拟）如图，二次函数y＝0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；

（3）若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．

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4．（2019?建昌县一模）如图，二次函数y=?

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x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、与y轴交于点C（0，4），过点A的直线y=

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2x+1与抛物线的另一个交点为B，D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式并直接写出顶点D的坐标；

（2）如图1，点P是线段AB上方抛物线上一动点，求点P运动到什么位置时，△ABP的面积最大，最大面积是多少？

（3）如图2，设直线AB与y轴交于点E．点M是直线AB上的一个动点（不与点A、B重合），当△MEC与△AOE相似时，请直接写出点M的坐标．

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10 【题组二】

5．（2019?泸州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣2，0），C （0，﹣6），其对称轴为直线x ＝2．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若直线y =?13x +m 将△AOC 的面积分成相等的两部分，求m 的值；

（3）点B 是该二次函数图象与x 轴的另一个交点，点D 是直线x ＝2上位于x 轴下方的动点，点E 是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x ＝2右侧．若以点E 为直角顶点的△BED 与△AOC 相似，求点E 的坐标．

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（2019?恩施州）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，?83），与x 轴交于A 、B 两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和

AE AB 的值． （3）点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，

√55FC +BF 的值最小．并求出这个最小值． （4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当√55

FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

12 7．（2019?亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =?1

4x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A （0，8），与x 轴交于B 、C 两点，其中点C 的坐标为（4，0）．点P （m ，n ）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D 的坐标为（0，4），连接BD ．

（1）求该二次函数的表达式及点B 的坐标；

（2）连接OP ，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，当以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBD 相似时，求m …… 此处隐藏：4167字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……