概率论与数理统计第四版_习题答案(完整版)(1)

S = ?? , ? ，n 表小班人数

概率论与数理统计习题答案第四版盛骤

(浙江大学)

浙大第四版（高等教育出版社） 独立的。） 解：设 D 表示输

出信号为 AB 第

一章

概率论的基本概念

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

o 1 ? n n Λ Λ n ?100 ? n ?

（3）生产产品直到得到 10 件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，………，n ，………}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”， 如连续查出二个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满 4 次才停止检查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}

2.[二] 设 A ，B ，C 为三事件，用 A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1）A 发生，B 与 C 不发生。

表示为： AB C 或 A － (AB+AC )或 A － (B ∪C )

（2）A，B都发生，而C不发生。

表示为：ABC或AB－ABC或AB－C

（3）A，B，C中至少有一个发生表示为：A+B+C

（4）A，B，C都发生，（5）A，B，C都不发生，表示为：ABC

表示为： A B C或S－(A+B+C)或A ? B ? C

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生

相当于A B , B C , AC中至少有一个发生。故表示为： A B + BC + A C。

（7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：A, B , C中至少有一个发生。故表示为：A + B + C或ABC

（8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.

7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7 即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1 与P (A∪B)≤1 矛盾）.

从而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

7.[四] 设A，B，C是三事件，且P( A) = P(B) = P(C ) =

1

8 1

4

, P( AB) = P(BC ) = 0，

2

. 求A，B，C至少有一个发生的概率。P( AC) =

A 26 ∵ 10 人中任选 3 人为一组：选法有 ??10?? 种，且每种选法等可能。 又事件 A 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码大于 5。这种组合的种数有1? ?? 5??

解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )－

P (AC )+ P (ABC )= 3 4 1 8 + 0 = 5 8

8.[五] 在一标准英语字典中具有 55 个由二个不相同的字母新组成的单词，若从 26 个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记 A 表“能排成上述单词”

∵ 从 26 个任选两个来排列，排法有 A 262 种。每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：55 个

∴ P ( A ) =

55 2 = 11 130

9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面 4 个数中的每一个数都是等可能性地取自 0，1，2……9）

记 A 表“后四个数全不同”

∵ 后四个数的排法有 104 种，每种排法等可能。

后四个数全不同的排法有 A 104

∴ P ( A ) = A 104 104

= 0.504

10.[六] 在房间里有 10 人。分别佩代着从 1 号到 10 号的纪念章，任意选 3 人记录 其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为 5 的概率。

记“三人纪念章的最小号码为 5”为事件 A

? 3 ?

? 2?

3

3 ? 记“三人中最大的号码为 5”为事件 B ，同上 10 人中任选 3 人，选法有 ??10?? 种，且 每种选法等可能，又事件 B 相当于：有一人号码为 5，其余 2 人号码小于 5，选法有1? ?? 4?? 3 ? C 17 ∵ 在 1500 个产品中任取 200 个，取法有 ??1500 ?? 种，每种取法等可能。 200 个产品恰有 90 个次品，取法有 ?? 400 ????1100?? 种

∴ P ( A ) = 1? ?? 5?? ? 2? = 1 ?10? 12 ? ?

（2）求最大的号码为 5 的概率。

? 3 ?

? 2? 种

P (B ) = 1? ?? 4??

? 2? = 1 ?10? 20 ? ?

11.[七] 某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶，红漆 3 桶。在搬 运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货 4 桶白漆，3 桶黑漆和 2 桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为 A 。

在 17 桶中任取 9 桶的取法有 C 179 种，且每种取法等可能。

取得 4 白 3 黑 2 红的取法有 C 104 ? C 43 ? C 32

故 P ( A ) = C 104 ? C 43 ? C 32 6 252 2431

12.[八] 在 1500 个产品中有 400 个次品，1100 个正品，任意取 200 个。

（1）求恰有 90 个次品的概率。

记“恰有 90 个次品”为事件 A

? 200 ?

? 90 ?? 110 ?

4

P ( A ) = ? 90 ?? 110 ? 200 ?

有 ??1100 ?? 种，200 个产品含一个次品，取法有 ?? 400 ????1100 ?? 种 ? ??1500?? + ? 1 ?? 199 ? ? ?1500? 200 ? ? ∵ 从 10 只中任取 4 只，取法有 ??10 ?? 种，每种取法等可能。 ? 5 ? ? 2 4 ? ?

∴ ? 400??1100 ? ?? ? ?1500? ? ?

（2）至少有 2 个次品的概率。 记：A 表“至少有 2 个次品”

B 0 表“不含有次品”，B 1 表“只含有一个次品”，同上，200 个产品不含次品，取法

? 200 ? ? 1 ?? 199 ?

∵

A =

B 0 + B 1 且 B 0，B 1 互不相容。 ∴ ? ?1100? ? ?? 200 ?? P ( A ) = 1 - P ( A ) = 1 - [P (B 0 ) + P (B 1 )] = 1 - ? ?? ? 200 ? ? 400??1100? ? ?? ? ? ? ? ? ?

13.[九] 从 5 双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配成一双的概率是多少？

记 A 表“4 只全中至少有两支配成一对”

则 A 表“4 只人不配对”

? 4 ?

要 4 只都不配对，可在 5 双中任取 4 双，再在 4 双中的每一双里任取一只。取法有

4 ?

∴ P ( A ) = C 54 ? 2 4 C 104 8 21

P ( A ) = 1 - P ( A ) = 1 -

8 21 = 13 21 15.[十一]

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