湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考数学

2020年秋季黄冈市部分普通高中协作体12月份联考

高三数学试卷

一?单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)

1. 已知集合{}ln(1)M x y x ==-，{}220N x x x =->，则M N ?=（ ）

A. (0,)+∞

B. (2,)+∞

C. (0,1)

D. (1,2) 【答案】D

2. 复数z 在复平面内对应点的点是(1,1)-，则复数

1i z -(i 是虚数单位)的虚部为（ ） A. 25i - B. 25- C. 15- D. 15i - 【答案】B

3. 在三角形ABC 中，“6A π∠=

”是“1sin 2A =”的（ ） A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】A

4. 已知2log 5a =，13

2log 12b ??= ???，3log 6c =，则（ ）

A. c b a >>

B. c a b >>

C. b c a >>

D. b a c >> 【答案】D 5. 公差不为0的等差数列{}n a 中，它的前31项的平均值是12，现从中抽走1项，余下的30项的平均值仍然是12，则抽走的项是（ ）

A. 12a

B. 14a

C. 16a

D. 18a 【答案】C

6. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm ，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm ，现往杯子中放入一种直径为1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ）

A. 98颗

B. 106颗

C. 120颗

D. 126颗

【答案】D 7. 已知函数122,0()log (

1),0x a x f x x a x ?-≤?=?+->??()a R ∈在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (1,){0}+∞

B. (0,)+∞

C. (,0]-∞

D. (,1]-∞

【答案】A 8. 已知F 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=?，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A. 3,1???????

B. 30,?? ? ??

C. 1,12??????

D. 10,2?? ???

【答案】C 二?多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，其中正确的结论为（ ）

A. 直线AM 与1C C 是相交直线；

B. 直线AM 与BN 是平行直线；

C. 直线BN 与1MB 是异面直线：

D. 直线MN 与AC 所成的角为60?.

【答案】CD 10. 已知n S 是公比q 的正项等比数列{}n a 的前n 项和，若123a a +=，2416a a =，则下列说法正确的是（ ）

A. 2q

B. 数列{}1n S +是等比数列

C. 8255S =

D. 数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC

11. 已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（ ）

A. ()f x 在0,3π?? ???上单调递减

B. ()f x 是周期为2π的函数

C. ()f x 有对称轴

D. 函数()f x 在(0,2)π上有3个零点 【答案】BD

12. 已知函数()ln x

f x e a x =+，其中正确结论的是（ ） A. 当1a =时，()f x 有最大值；

B. 对于任意的0a >，函数()f x 是()0,∞+上的增函数；

C. 对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值；

D. 对于任意

的0a >，都有()0f x >.

【答案】BC 三?填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 已知向量a ，b 的夹角为60°，且2a =，1b =，则2a b -=________.

【答案】2

14. 已知直线y x m =+与圆224x y +=相交于A ?B 两点，O 为坐标原点，0OA OB ?<且AOB 的面积为3，则实数m =______.

【答案】2±

15. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部C 在同一水平面的A ?B 两点(B 在A 的正西方向)，在A 点测得樟树根部C 在西偏北30°的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏北75°的方向上，树梢D 的仰角为30°，则这棵樟树的高度为______米.

【答案】2063

16. 四棱锥 P ABCD -各顶点都在球心为O 的球面上，且PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2PA AB ==，4=AD ，则球O 的体积是__________；设E 、F 分别是PB 、BC 中点，则平面AEF 被球O 所截得的截面面积为__________.

【答案】 (1). 86π (2). 143

π 四?解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤)

17. 已知13,22x m ?=??，2cos ,12cos 22x x n ??=+ ??

?，函数()f x m n =?. （1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）将函数()y f x =的图象上的各点______得到函数()y g x =的图象，当,64x ππ??∈-???

?时，方程()g x a =有解，求实数a 的取值范围.

在以下①?②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①?②都做，则按①给分. ①向左平移32

π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来一半，再向右平移4

π个单位. 【答案】（1）最小正周期为2π；（2）条件选择见解析；30,2

a ??

∈????. 18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为2n S pn n q =++，p ，q ∈R ，n +∈N ，且36a =.数列{}n b 满足

22log n n a b =.

（1）求p ?q 的值；

（2）设数列(){}(1)n n n a b -+的前2n 项和为2n T ，证明：23n T >.

【答案】（1）1p =，0q =；（2）证明见解析.

19. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足22sin cos 212B C A ++=， （1）求角A 的大小；

（2）若7a =，3BA AC ?=-，A ∠的平分线交边BC 于点T ，求AT 的长.

【答案】（1）3A π

=；（2）63. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=?，PAD ?为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E ，F 分别为AD ，PC 的中点.

（1）求证：//DF 平面PEB ；

（2）求直线EF 与平面PDC 所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）65

. 21. 如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，4BAC π∠=

，BD AB ⊥，BC 是以A 为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设04PAB πθθ?

?∠=<< ???.

（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；

（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）6πθ=

时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低，理由见解析. 22. 已知曲线()(3)(2ln )x f x x e a x x =-+-(其中e 为自然对数的底数)在1x =处的切线方程为(1)y e x b =-+.

（1）求a ，b 值；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()06255e f x --

<<-. 【答案】（1）1a =，2b e =--；（2）证明见解析.