高中数学苏教版必修一学案：3.3 幂函数

学习目标

1.理解幂函数的概念.

2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法.

3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的

方法处理幂函数的有关问题．

知识点一 幂函数的概念

思考 y ＝1x

，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？

梳理 一般地，我们把形如____________的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质

1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12

x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．

2．五个幂函数的性质

知识点三一般幂函数的图象特征

思考类比y＝x3的图象和性质，研究y＝x5的图象与性质．

梳理一般幂函数特征

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点________．

(2)α>0时，幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是单调______函数．特别地，

当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象____________．

(3)当________时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是单调减函数．

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．

(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从____到____的顺序排列．

类型一 幂函数的概念

例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)22m x

-＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．

反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为

1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝???

?x 24都不是幂函数． 跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数为________． 类型二 幂函数的图象及应用

例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(2，14

)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )

引申探究

若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝

?????

f (x )，f (x )≤

g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出

h (x )的图象．

反思与感悟 注意本题中对f (x )＞g (x )，f (x )＝g (x )的几何解释．这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法．

跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么αβ等于________．

类型三 幂函数性质的综合应用

命题角度1 比较大小

例3 设a ＝232()3，b ＝132()3，c ＝232()5

，则a ，b ，c 的大小关系是________． 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．

跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小．

(1)????250.3与????130.3；

(2)????－23－1与???

?－35－1； (3)????250.3与25(0.3).

命题角度2 幂函数性质的综合应用

例4 已知幂函数y ＝x 3m －

9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足3(1)

m a -＋<3(32)m a -－的a 的取值范围．

反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．

跟踪训练4 已知幂函数f (x )＝21

m m x + (m ∈N *)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．

1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点???

?12，22，则k ＋α等于________． 2．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22

)，则f (4)的值等于________． 3．设α∈{－1,1，12

，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为________． 4．下列是y ＝2

3

x 的图象的是________．(填序号)

5．以下结论正确的是________．

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．

3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12

，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．

★★答案★★精析

问题导学

知识点一

思考 底数为x ，指数为常数．

梳理 y ＝x α

知识点二

2．R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 减

知识点三

思考 y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同．只不过当01时，x 5＝x 3·x 2>x 3，结合两函数性质，可得图象如下：

梳理 (1)(1,1) (2)原点 增 下凸 上凸 (3)α<0 小 大

题型探究

例1 解 由题意得?????

m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0， 解得????? m ＝－3或1，n ＝32

， 所以m ＝－3或1，n ＝32

. 跟踪训练1 y ＝1x 2

解析因为y＝1

x2＝x

－2，所以是幂函数；

y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；

y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数．

例2 解设f(x)＝xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(2，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.

在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1

引申探究

解h(x)的图象如图所示：

跟踪训练2 1

解析 由条件知，M (13，23

)， N (23，13

)， ∴ …… 此处隐藏：2473字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……